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Ajoutons une dimension

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Can you multiply triples ?

Hamilton se lance donc dans la quête d'un système de nombres à 3 dimensions, de la forme :

$$a + ib + jc$$

avec $i^2 = -1$ et $j^2 = -1$. Mais attention : $i$ n'est pas égal à $j$. Par analogie avec les nombres complexes, $j$ est perpendiculaire à $1$ et à $i$, ce qui donne la représentation géométrique suivante :

triplet_nombres

En ce qui concerne les opérations algébriques :

  • L'addition de deux nombres ne lui pose aucune difficulté : elle se fait par addition des composants :
    $(a + ib + jc) + (a' + ib' + jc') = (a + a') + i(b + b') + j(c + c')$
  • Et la multiplication ? Si on utilise les lois normales de l'algèbre (associativité, commutativité et distributivité), on obtient :
    $(a + ib + jc) \times (a' + ib' + jc') = (aa' - bb' - cc') + i(ab' + a'b) + j(ac' + a'c) + ij(bc' + c'b)$

Du coup, que vaut $ij$ ? Pour que la multiplication donne un nombre à trois dimensions, $ij$ doit être égal à un nombre de la forme $\alpha + i\beta + j\gamma$. Mais toutes les tentatives d'Hamilton pour trouver les coefficients $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ vont échouer. En effet, pour que ses nombres remplissent leur rôle géométrique, il faut que la multiplication obéisse à une autre règle : comme pour les nombres complexes, le produit des modules doit être égal au module du produit. Dit autrement, pour deux nombres $u$ et $v$, on doit avoir : $|u||v| = |uv|$.

C'est cette règle qui empêchera Hamilton de créer une algèbre cohérente en trois dimensions, comme nous le montrerons tout à l'heure. Sa quête durera treize ans ! Comme il le raconte dans sa biographie, tous les matins, ses enfants lui demandaient :
- Papa, can you multiply triples ?
Ce à quoi il était obligé de répondre :
- No, I can only add and substract them.

Jusqu'à ce fameux jour d'octobre 1843…

On a perdu la commutativité !

Alors qu'il fait sa promenade matinale, Hamilton a une illumination ! Il sort son couteau et grave sur le pont de Brougham la formule suivante :

$$\boxed{i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 }$$

hamilton_bridge
Plaque commémorative sur le pont de Brougham

Cette formule semble défier les lois de l'algèbre. Et d'où sort ce $k$ ?
L'illumination qu'a Hamilton, c'est que le produit $ij$ ne donne pas un nombre à 3 dimensions, mais un nombre qui se trouve dans une autre dimension, perpendiculaire à $1$, à $i$ et à $j$ !
Il note ce nombre $k$. Comme l'axe contenant $k$ est perpendiculaire à l'axe des réels, par analogie avec $i$ et $j$, il pose $k^2 = -1$.
De même, il pose $jk = i$ et $ki = j$, ce qui donne $ijk = kk = -1$.

Ce ne sont donc plus des nombres à 3 dimensions qu'il se met à étudier, mais des nombres à 4 dimensions : des quaternions, de la forme $a + ib + jc +kd$.
L'ensemble des nombres obtenu est appelé $\mathbb H$, l'ensemble des nombres hypercomplexes

Il lui reste cependant une dernière difficulté à surmonter. En effet, imaginons le calcul suivant :
$-1 = k^2 = (ij)^2 = (ij)(ij)$
$-1 = ijij$ par associativité de la multiplication
$-1 = ijji$ par commutativité de la multiplication
$-1 = i(-1)i$ car $jj = -1$
$-1 = (-1)(-1)$ car $i^2 = -1$
$-1 = 1$ !!

Il lui faut résoudre ce problème très rapidement, sinon ses nouveaux nombres sont condamnés à disparaître aussi vite qu'ils sont apparus… Hamilton effectue alors un acte désespéré :

Pour lever ce paradoxe, Hamilton sacrifie une loi de l'algèbre : la commutativité de la multiplication.

Il pose $ij = -ji$, ainsi que $ik = -ki$ et $kj = -jk$, ce qui résout le problème.

Le schéma suivant permet de se remémorer ces règles de calcul :

ijk_multiplication
En parcourant le cercle dans le sens horaire, on retrouve les produits $ij = k$, $jk = i$ et $ki = j$
En parcourant le cercle dans le sens contraire, on inverse les signes ($ji = -k$, $kj = -i$ et $ik = -j$)

Et là le miracle se produit : Hamilton obtient une algèbre cohérente (addition, soustraction, multiplication et division) et compatible avec la loi de multiplication des modules ($|u||v|=|uv|$).

La grosse nouveauté, c'est la perte de la commutativité ! Elle peut sembler choquante, et pourtant elle est bien compatible avec le rôle géométrique qu'on veut faire tenir à ces nouveaux nombres. En effet, rappelez-vous ce qui nous a conduit à les inventer : généraliser à la troisième dimension la géométrie des nombres complexes, notamment les rotations. Or, faites cette petite expérience chez vous : tendez votre poing gauche fermé devant vous, paume vers le bas.

  • tournez votre poignet d'un quart de tour vers la gauche, puis d'un quart de tour vers l'avant : votre poing est maintenant dirigé vers le bas.
  • tournez votre poignet d'un quart de tour vers l'avant, puis d'un quart de tour vers la gauche : votre poing est maintenant dirigé vers la droite.

Le résultat est différent selon l'ordre dans lequel on effectue les rotations !

Les rotations dans l'espace ne sont pas commutatives, tout comme la multiplication des quaternions !!