Démonstration notation exponentielle d'un nombre complexe

L’auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je cherche en vain une démonstration de la notation exponentielle d’un nombre complexe.

Apparemment, cela semble provenir du fait que le produit de deux nombres complexes sous forme trigonométrique se comporte de la même manière que le produit de la fonction exponentielle.

Mais je ne trouve pas que cela soit suffisant pour admettre la notation exponentielle.

Qu’en pensez-vous ?

+0 -0

Au lycée, tu peux montrer la formule de Moivre par récurrence à partir des formules de trigo. A partir de là, en connaissant l’exponentielle et son comportement, on voit que ca se comporte de la même façon. C’est à dire que

$$(\cos(t) + i\sin(t))^{n_1}(\cos(t) + i\sin(t))^{n_2} = (\cos(t) + i\sin(t))^{n_1+n_2} = \cos((n_1+n_2)t) + i\sin((n_1+n_2)t)$$ est très similaire à $$e^{a}e^{b}=e^{a+b}$$

A partir de là dit/admet/utilise que l’exponentielle complexe $e^{it}$ est une écriture du nombre $\cos(t)+i\sin(t)$ qui se comporte en plus comme l’exponentielle usuelle. Mais ca reste une notation (qui est totalement correcte mais mal justifiée à ce stade)

Dans le supérieur, ca se démontre avec rigueur sans soucis à l’aide des développements en série entière de exp, cos et sin.

Édité par Davidbrcz

+0 -0
Auteur du sujet

Décidément, les développements limités sont partout ! Bien allons-y avec les DL alors si vous le voulez bien ?

Tu veux une démonstration à partir de quelles hypothèses ? Tu sais quoi de l’exponentielle complexe ?

Holosmos

L’essentiel je crois, limites, DL…

A partir de là dit/admet/utilise que l’exponentielle complexe eiteit est une écriture du nombre cos(t)+isin(t)cos⁡(t)+isin⁡(t) qui se comporte en plus comme l’exponentielle usuelle. Mais ca reste une notation (qui est totalement correcte mais mal justifiée à ce stade)

C’est bien cela que je déplore.

+0 -0

J’ai pas l’impression que tu répondes à la question fondamentale : qu’est-ce que tu veux démontrer ? Est-ce que tu connais une définition de l’exponentielle complexe et tu veux en prouver une propriété ? Est-ce que tu veux montrer l’existence d’une fonction qui vérifie certaines propriétés (celles qu’on attribue à l’exponentielle) ?

Auteur du sujet

Si tu connais le DSE de exp, suffit de calculer l’appliquer à $it$, regrouper les termes réels et imaginaires purs et voir qu’ils correspondent aux DSE de cos et sin respectivement. C’est là

Davidbrcz

Oui, au début j’y croyais pas avec les DL, parce que je faisais $\cos(x) + i\sin(x)$ mais je ne trouvais pas $e^{ix}$, il y avait un signe moins qui traînait quelque part… Mais finalement après l’avoir refais j’ai vu mon erreur, c’est pour cela que j’avais souhaité que vous en fassiez la démonstration. Mais c’est chose résolu :p

J’ai pas l’impression que tu répondes à la question fondamentale : qu’est-ce que tu veux démontrer ? Est-ce que tu connais une définition de l’exponentielle complexe et tu veux en prouver une propriété ? Est-ce que tu veux montrer l’existence d’une fonction qui vérifie certaines propriétés (celles qu’on attribue à l’exponentielle) ?

Lucas-84

Je souhaitais démontrer :

$$ \cos(x) + i \sin(x) = e^{ix} $$

La démonstration apprise au lycée étais insuffisante pour moi. J’ai tenté de chercher d’autre démonstrations. J’ai tenter de le démontrer avec les DES mais je trouvais pas l’égalité suite à une erreur de ma part. Il y a peu Davidbrcz m’a suggérer de faire l’opération et je me suis dit que dans ce cas forcément j’avais fait une erreur. J’ai donc refais l’opération et me suis rendu compte que j’avais fait une bourde, voilà tout. :lol:

J’en parle ici (c’est une démonstration "avec les mains" mais ça peut montrer d’ou ça vient)

https://zestedesavoir.com/contenus/763/la-saga-des-nombres-au-dela-du-reel/1100_des-mathematiciens-pleins-dimagination/5247_le-sacre-des-complexes/#2-14869_la-forme-exponentielle

Looping

Impossible d’accéder au lien.

Édité par john.doe

+0 -0

Je souhaitais démontrer :

$$ \cos(x) + i \sin(x) = e^{ix} $$

La démonstration apprise au lycée étais insuffisante pour moi. J’ai tenté de chercher d’autre démonstrations. J’ai tenter de le démontrer avec les DES mais je trouvais pas l’égalité suite à une erreur de ma part. Il y a peut Davidbrcz m’a suggérer de faire l’opération et je me suis dit que dans ce cas forcément j’avais fait une erreur. J’ai donc refais l’opération et me suis rendu compte que j’avais fait une bourde, voilà tout. :lol:

Ok, la propriété est claire ; ce qui l’était moins, c’est comment est défini de ton point de vue le membre de droite $e^{ix}$. C’était important de le préciser parce qu’il y a plein de manière différentes de lui donner un sens, qui sont toutes équivalentes mais c’est pas forcément immédiat de passer d’une forme à l’autre (une réponse possible aurait été : je connais le développement en série entière de l’exponentielle complexe).

Voilà qui rend véridique ce que je ne pouvais accepter, en utilisant simplement la propriété $a^x = e^{x\ln(a)}$ ! :magicien:

john.doe

Du coup je comprends pas trop pourquoi ça répond à ta question, mais pourquoi pas, si ça t’a permis d’avoir une intuition. ^^

La question est toujours la même : c’est quoi que t’appelles $e^{ix}$. Y aura pas de démonstration tant que tu n’auras pas préciser ce que tu as comme hypothèses.

Je peux te donner des preuves différentes d’une même égalité, dont celle par développement en série entière (qui ne sont pas des DL, au passage), mais rien ne te fera sens si ça ne correspond pas à tes hypothèses.

+0 -0
Auteur du sujet

Je veux connaître la preuve par tout moyen plausible.

Je suppose au départ que la définition $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ est non prouvé mais que toute autre définition de $e^{ix}$ est admise.

D’ailleurs, ce qui m’aurait intéressé davantage, c’est l’histoire même de cette égalité. Ce qui a poussé Euler (je suppose) à admettre cette égalité.

C’est par abus de langage que je mêle les deux termes (DL et DSE). :p

+0 -0

La question est toujours la même : c’est quoi que t’appelles $e^{ix}$. Y aura pas de démonstration tant que tu n’auras pas préciser ce que tu as comme hypothèses.

Je peux te donner des preuves différentes d’une même égalité, dont celle par développement en série entière (qui ne sont pas des DL, au passage), mais rien ne te fera sens si ça ne correspond pas à tes hypothèses.

Holosmos

C’est le nombre de lapin dans l’univers numéro $x$ au temps $i$ (la théorie des multivers est admise).

De façon plus sérieuse, c’est de la pédanterie. Tu vas me rétorquer qu’il s’agit d’être rigoureux, qu’on fait des maths et que même stricto sensu tu as raison, ca n’apporte rien à la discussion. On est là pour aider le PO. Alors oui, y’a des cas où demander des précisions sur les hypothèses vont servir, mais pas ici. Le PO demande un truc qui se démontre bien formellement à bac +2. On va donc supposer qu’il a ce niveau au maximum et donc les définitions sont donc celles communément admises vers ce niveau. Rien d’exotique et pas besoin de s’adonner à de la découpe capillaire au katana.

Ozmox > y’a le lien vers la démo de WP

Édité par Davidbrcz

+3 -2

Je veux connaître la preuve par tout moyen plausible.

Je suppose au départ que la définition $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ est non prouvé mais que toute autre définition de $e^{ix}$ est admise.

D’ailleurs, ce qui m’aurait intéressé davantage, c’est l’histoire même de cette égalité. Ce qui a poussé Euler (je suppose) à admettre cette égalité.

C’est par abus de langage que je mêle les deux termes (DL et DSE). :p

john.doe

Dans ce cas, la preuve consiste à développer en série entière le terme $e^{ix}$ et à réunir réparer les parties réelles des parties imaginaires. Tu verras apparaître les développements en séries du cosinus et du sinus respectivement.

De façon plus sérieuse, c’est de la pédanterie. Tu vas me rétorquer qu’il s’agit d’être rigoureux, qu’on fait des maths et que même stricto sensu tu as raison, ca n’apporte rien à la discussion.

Ce n’est pas de la pédanterie. En quoi donner une preuve par développement en série va l’aider s’il n’a pas cette définition ?

On pourrait dire que par définition $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$. Mais bizarrement c’est pas ça qui est attendu. C’est donc bien qu’il a une définition a priori du PO, et selon cette dernière, les preuves ne sont pas les mêmes.

Ce serait bien au passage que tu arrêtes de profiter de toute occasion qui se présente à toi pour me dire que je suis pédant, élitiste, voire con. Je vois pas l’intérêt que j’aurais à être pédant ici, si ce n’est m’auto-ridiculiser. J’ai toujours cherché à apporter mon aide aux membres qui posent des questions, alors je trouve ça à la fois irrespectueux et inapproprié de continuer à m’adresser ça.

Si tu ne comprends pas le sujet sur lequel tu t’exprimes, évite au moins d’insulter ceux qui savent quelque chose.


Si c’est la preuve par série qui intéresse, je peux la répéter bêtement ici. Mais je maintiens que c’est parfaitement inutile si PO n’a pas cette définition pour l’exponentielle complexe.

$$\exp(ix) = \sum \frac {(ix)^n}{n!} = \sum i^n\frac{x^n}{n!}$$

là je partage selon $n$ pair ou impair :

$$\exp(ix) = \sum (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + i \sum (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

et je reconnais chaque série comme étant respectivement $\cos(x)$ et $\sin(x)$.

+2 -3

Si c’est la preuve par série qui intéresse, je peux la répéter bêtement ici. Mais je maintiens que c’est parfaitement inutile si PO n’a pas cette définition pour l’exponentielle complexe.

[Holosmos]

Je souhaitais démontrer :

$$ \cos(x) + i \sin(x) = e^{ix} $$

La démonstration apprise au lycée étais insuffisante pour moi. J’ai tenté de chercher d’autre démonstrations. J’ai tenter de le démontrer avec les DES mais je trouvais pas l’égalité suite à une erreur de ma part. Il y a peu Davidbrcz m’a suggérer de faire l’opération et je me suis dit que dans ce cas forcément j’avais fait une erreur. J’ai donc refais l’opération et me suis rendu compte que j’avais fait une bourde, voilà tout. :lol:

john.doe

Bon sinon merci pour la preuve. :D

Édité par anonyme

+0 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte