Démonstration dérivée de uv

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Voici la démonstration de la dérivée du produit de deux fonctions $u$ et $v$ ($u\cdot v$) qui est censé être $u'v+v'u$.

Détermination de la pente en un point $a$ :

$$ \begin{eqnarray} \frac{(u \cdot v)(a + h) - (u\cdot v)(a)}{h} & = & \frac{u(a+h)\cdot v(a+h) - u(a)\cdot v(a)}{h} \\ & = & \frac{ u(a+h)v(a+h) \overbrace{-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)}^{0} -u(a)v(a) }{ h } \\ & = & \frac{(u(a+h)-u(a))v(a+h)+u(a)(v(a+h)-v(a))}{h} \\ & = & \frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h) + u(a) \times \frac{v(a+h) - v(a)}{h} \end{eqnarray} $$

Ainsi la dérivée en $a$ est :

\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0} \frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h) + u(a) \times \frac{v(a+h) - v(a)}{h} = \boxed{u’(a)v(a) + u(a)v’(a)} \end{eqnarray}

Je souhaite savoir comment est venu l’idée d’ajouter $-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)$ pour que la démonstration puisse se poursuivre.

Merci !

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Je pense qu’il est difficile de dire en mathématiques comment vient une idée. Ici en bidouillant au brouillon, l’idée d’ajouter $-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)$ est finalement assez naturel si on sait que la dérivée de $uv$ fera intervenir $u'$ et $v'$.

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Cette démonstration est un peu chargée à mes yeux, je pense que c’est plus clair d’étudier $\dfrac{(uv)(x) - (uv)(a)}{x - a}$ lorsque $x \to a$ pour $a \in \mathcal D_u = \mathcal D_v$.

Comme il me semble que $u$ et $v$ sont indépendamment dérivables, tu peux utiliser la continuité de $v$.

Édité par anonyme

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Auteur du sujet

Ça revient un peu à faire la même chose non ?

$$ \begin{eqnarray} \frac{u(x)v(x) - u(a)v(a)}{x-a} & = & \frac{u(x)v(x) - u(x)v(a)+u(x)v(a)-u(a)v(a)}{x-a} \\ & = & u(x) \times \frac{v(x)-v(a)}{x-a} + v(a) \times \frac{u(x)-u(a)}{x-a} \end{eqnarray} $$
$$ \lim_{x\to a} u(x) \times \frac{v(x)-v(a)}{x-a} + v(a) \times \frac{u(x)-u(a)}{x-a} = \boxed{u(a)v'(a)+v(a)v'(a)} $$

Que veux-tu dire par :

Comme il me semble que $u$ et $v$ sont indépendamment dérivables, tu peux utiliser la continuité de $v$.

Édité par john.doe

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Ça revient un peu à faire la même chose non ?

Oui oui, c’est la même chose. En moins "chargé".

Que veux-tu dire par :

Tu dois utiliser que $u$ est continue il me semble pour écrire $\displaystyle \lim_{x\to a} u(x) = u(a)$, tu devrais avoir au départ que u et v sont deux fonctions dérivables.

Édité par anonyme

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Tu dois utiliser que $u$ est continue il me semble pour écrire $\displaystyle \lim_{x\to a} u(x) = u(a)$, tu devrais avoir au départ que u et v sont deux fonctions dérivables.

Ozmox

C’est vraiment strictement la même chose que la démo initiale, en faisant l’exercice de réécriture formel $x=a+h$. On utilise aussi la continuité avec la deuxième forme quand on dit $v(a+h)\underset{h\to 0}{\to} v(a)$ à la dernière ligne.


Je refais la version d’Holosmos sans le langage des DL.

On écrit ce que veut dire « $u$ est dérivable en $a$ de dérivée $u'(a)$ » :

$$\lim_{h\to 0}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$$

En notant $\epsilon_{u,a}(h)=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}-u'(a)$ (a priori son domaine de définition est le domaine de $u$ translaté de $-a$, où on enlève 0), on a par opération triviale sur les limites :

$$\lim_{h\to 0}{\epsilon_{u,a}(h)}=0$$

et en réécrivant la définition de $\epsilon_{u,a}(h)$ :

$$u(a+h)=u(a)+hu'(a)+h\epsilon_{u,a}(h)$$

De même on définit une fonction $\epsilon_{v,a}$ qui tend vers $0$ en $0$ et telle que :

$$v(a+h)=v(a)+hv'(a)+h\epsilon_{v,a}(h)$$

D’où en développant le produit :

$$u(a+h)v(a+h)=u(a)v(a)+h(u'(a)v(a)+u(a)v'(a))+h\epsilon_{u,a}(h)(v(a)+hv'(a))+h\epsilon_{v,a}(u(a)+hu'(a))+h^2\epsilon_{u,a}(h)\epsilon_{v,a}(h)$$

Maintenant on fait apparaître le terme $\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}$ qui nous intéresse :

$$\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)+\epsilon_{u,a}(h)(v(a)+hv'(a))+\epsilon_{v,a}(u(a)+hu'(a))+h\epsilon_{u,a}(h)\epsilon_{v,a}(h)$$

Maintenant, il est facile de voir que tous les termes de droite, à part $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$, tendent vers 0 quand $h$ tend vers 0, donc :

$$\lim_{h\to 0} \frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$$

En particulier, on n’a pas eu à faire apparaître de quantité pour finir le calcul, on a juste réécrit la définition de la dérivabilité sous la forme d’un accroissement. La démonstration paraît peut-être un peu longue, mais avec les bonnes notations ça donne la réponse d’Holosmos.

En particulier, on n’a pas eu à faire apparaître de quantité pour finir le calcul, on a juste réécrit la définition de la dérivabilité sous la forme d’un accroissement. La démonstration paraît peut-être un peu longue, mais avec les bonnes notations ça donne la réponse d’Holosmos.

Merci d’avoir eu le courage de faire la traduction.

L’intérêt du langage des DL c’est de pouvoir se passer de ces détails formels qui n’apportent en fait pas grand chose à la compréhension. Il y a peut-être une petite marche formelle à gravir, en posant les bonnes définitions, mais une fois que c’est fait on gagne beaucoup en compréhension.

(À vrai dire, c’est toujours le signe qu’il y a du travail de simplification lorsque l’on observe des preuves avec des $\lim$ à tout va.)

Donc à la question : « pourquoi $u'v+uv'$ ? » j’ai envie de répondre : parce que ça vient du développement de $(u(a)+xu'(a))(v(a)+xv'(a))$, ce qui me paraît bien plus clair qu’une preuve où il faut faire apparaître un terme tombé du ciel

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En particulier, on n’a pas eu à faire apparaître de quantité pour finir le calcul, on a juste réécrit la définition de la dérivabilité sous la forme d’un accroissement. La démonstration paraît peut-être un peu longue, mais avec les bonnes notations ça donne la réponse d’Holosmos.

Merci d’avoir eu le courage de faire la traduction.

L’intérêt du langage des DL c’est de pouvoir se passer de ces détails formels qui n’apportent en fait pas grand chose à la compréhension. Il y a peut-être une petite marche formelle à gravir, en posant les bonnes définitions, mais une fois que c’est fait on gagne beaucoup en compréhension.

Holosmos

Absolument, et d’ailleurs c’est un fait assez général en mathématiques (et en sciences aussi ?) : avec un bagage théorique restreint, on peut démontrer des choses mais il faut beaucoup travailler, soit en ayant des astuces comme ici, soit en faisant appel à des rédactions très techniques qui empêchent de voir le fond des choses.

À l’inverse, avec le bon bagage théorique (ici, les développements limités), certaines formules qui a priori semblent parachutées, deviennent tout à fait naturel voire évidentes. L’effort à faire provient de la conceptualisation des choses, grâce à laquelle on met en lumière le cœur des arguments.

C’est particulièrement frappant en analyse, ou l’on peut démontrer plein de choses avec peu de théorie ; mais avec la bonne théorie (pas forcément compliquée, d’ailleurs), on fait tomber plein de théorèmes comme des mouches.

C’est particulièrement frappant en analyse, ou l’on peut démontrer plein de choses avec peu de théorie ; mais avec la bonne théorie (pas forcément compliquée, d’ailleurs), on fait tomber plein de théorèmes comme des mouches.

Salut, je voudrais juste savoir de quel genre d’analyse tu parles.

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J’ai au moins deux exemples frappants en tête :

  • la notion de limite supérieure est très utile pour démontrer facilement que des objets limites existent ; on peut très souvent s’en passer (surtout lorsque l’on travaille avec des fonctions continues), mais c’est fastidieux ;
  • les rudiments de géométrie différentielle font du théorème des extrema liés une évidence, alors que c’est un théorème très puissant, qui se démontre très laborieusement avec de l’algèbre linéaire ;
  • il y a probablement d’autres situation, mais là tout de suite ça ne vient pas. :p

Correction (22 h 03) – Mise en forme.

Édité par c_pages

À savoir en plus que c’est en fait extrêmement superficiel que de vouloir se limiter à des théories élémentaires. Les théories mathématiques ne se sont que très rarement construites en accroissant la difficulté, ça s’est souvent fait dans l’autre sens. C’est donc pas un hasard si généralement les théorèmes sont plus compréhensibles dans des cadres plus difficiles, c’est juste qu’ils ont souvent été pensés de cette façon avant d’avoir été généralisés ou brisés en petits morceaux de preuves élémentaires

Édité par Holosmos

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