Solution d'un équation qui n'en est pas une

a marqué ce sujet comme résolu.
Auteur du sujet

Bonjour,

Je viens vers vous parce que je suis confronté à un problème que je ne parviens pas à expliquer. Je donnais un cours particulier et je suis tombé sur un énoncé de la forme:

$$ f(x) = \frac{\sqrt{x^{2}-3x+3}}{1 - x} $$

où on demandait de calculer les asymptotes. J’ai donc obtenu:

$ AV \text{(Asymptote Verticale)} \equiv x = 1$

$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) \Rightarrow AH \text{(Asymptote Horizontale)} \equiv y = -1 $

$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) \Rightarrow AH \equiv y = 1 $

Jusque là, tout va bien :D . Puis, on demandait de voir s’il existait une intersection entre la courbe et une de ces asymptotes. Et c’est là où les choses me paraissent obscures; vu qu’il n’y a logiquement pas d’intersection avec l’asymptote verticale, on regarde pour les horizontales. Je calcule donc:

$$ f(x) = \frac{\sqrt{x^{2}-3x+3}}{1 - x} \cap AH \equiv y = 1 $$ $$ \frac{\sqrt{x^{2}-3x+3}}{1 - x} = 1 $$ $$ \sqrt{x^{2}-3x+3} = 1 - x $$ $$ x^{2} - 3x + 3 = 1 - 2x + x^{2} $$ $$ 2 = x $$

Sauf que $f(2) = -1 $ ! Et ce $x = 2$ est bel et bien l’abscisse du point d’intersection de $ f(x) \cap AH \equiv y = -1 $. Je me rends bien compte que l’élévation au carré supprime le signe de 1 et c’est pour cela que j’obtiens cette solution. Mais je ne comprends pas sa signification ou, tout du moins, quel argument dois-je utiliser pour rejeter cette solution ?

Merci d’avance pour vos réponses.

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Déjà je tiens à dire que ta rédaction est largement améliorable. C’est à peine lisible. (Et je dois dire que c’est plutôt inquiétant si c’est ce que tu communiques en cours particulier.)

Ton problème n’est pas très difficile à résoudre. Si tu rédiges mieux, tu te rends compte que tu as montré que

$$f(x)^2 = 1$$

a pour solution $x=2$. Maintenant cela signifie que $f(2)=1$ ou $f(2)=-1$. Une vérification montre que c’est $-1$ et donc qu’il n’y a pas d’intersection entre la courbe représentative de $f$ et la droite d’équation $y=1$.

+2 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte