Questions sur le nombre pi

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Auteur du sujet

Bonjour,

J’ai quelques questions par rapport au nombre pi. Je sais que ce nombre est notamment utilisé dans la trigonométrie, pour le calcul d’aire, de périmètre d’un cercle ou d’une sphère mais je ne sais pas trop il représente quoi.

-Que représente le nombre pi concrètement ?

-Pourquoi utilise t-on le nombre pi et pas une autre constante par ex pour ce genre de calculs ?

-Pourquoi concrètement le périmètre d’un cercle est égale à p = pi * 2 * r ?

Merci !

Édité par Drakop

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Salut,

Le périmètre d’un cercle en fonction de son rayon est en fait une définition de pi : le ratio du périmètre et du diamètre d’un cercle.

Ensuite, il est rapidement lié à la sphère, qui est proche du cercle.

En trigonométrie, il apparaît car les radians sont une mesure d’angle lié à la longueur de l’arc sur un cercle de diamètre 1. Par exemple un tour fait 2 fois pi.

Il apparaît ailleurs, et de manière pas forcément évidente, mais c’est une histoire plus compliquée.

Édité par Aabu

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Je vais tenter de répondre à la dernière question, ça devrait répondre aux autres questions.

Il y a très longtemps, des scientifiques ont dessiné des cercles ; pour chaque cercle, ils ont mesuré le diamètre D , et le périmètre P. Et ils ont constaté qu’en divisant P par D, ils tombaient toujours sur le même nombre 3.14 .... aux erreurs de mesure près. Ils ont donc dit, ce nombre 3.14 est quand même particulier, on va lui donner un nom particulier. Et ils l’ont appelé Pi. Ne me demande pas pourquoi ils ont choisi ce nom, je n’en sais rien.

Plus tard, on a su faire des mesures plus précises, ou plutôt on a su établir des formules très pointues pour avoir une valeur plus précise de ce nombre Pi.

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Il apparaît ailleurs, et de manière pas forcément évidente, mais c’est une histoire plus compliquée.

Je me suis toujours demandé ce qu’il venait faire par exemple dans la fonction de densité d’une loi normale…

Édité par Demandred

“Your manuscript is both good and original. But the part that is good is not original, and the part that is original is not good.” Attributed to Samuel Johnson

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Et ils l’ont appelé Pi. Ne me demande pas pourquoi ils ont choisi ce nom, je n’en sais rien.

Parce que $\pi$ est le $\mathrm{P}$ des grecques. Et que le $\mathrm{P}$ désigne "$\text{Périmêtre}$"

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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Il apparaît ailleurs, et de manière pas forcément évidente, mais c’est une histoire plus compliquée.

Je me suis toujours demandé ce qu’il venait faire par exemple dans la fonction de densité d’une loi normale…

Demandred

Dans la démonstration de l’intégrale de Gauss il me semble que tu tombe sur un $[arctan]^1_0 = \dfrac{\pi}{4}$.

Ou bien tu passe en coordonnées polaires. cf ici.

Édité par anonyme

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Ca me rappelle Feynman qui se posait la même question étant jeune, pourquoi Pi intervenait dans l’inductance, et il avait déduit que c’est parce que les bobines etaient des enroulements circulaires. Jusqu’à ce qu’il découvre la formule pour les bobines carrées, qui contenanait aussi Pi.
Je pense que Pi apparait beaucoup en physique car beaucoup de phénomènes ont une symétrie sphérique. Il arrive souvent que le calcul d’une valeur amène à intégrer quelque chose sur une surface fermée entourant la source du phénomène (donc sur 360 degrés en 2D ou 4Pi stéradians).

Je pense que ça pourrait être un exercice intéressant de rechercher le cercle sous-jacent qui est caché derrière les formules faisant intervenir Pi. (Je sais pas si on y arriverait à chaque fois d’ailleurs)

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Pour répondre à la deuxième question :

Pourquoi utilise t-on le nombre pi et pas une autre constante par ex pour ce genre de calculs ?

Comme l’a expliqué elegance, depuis les Grecs on utilise pi, et depuis c’est une habitude. Cela dit, plusieurs personnes militent pour utiliser $\tau$ (tau) plutôt que $\pi$, avec $\tau = 2\pi$. L’idée est que plein de formules font intervenir $2\pi$, et que ce serait beaucoup plus joli si on utilisait $\tau$ à la place.

Cela dit, utiliser pi ou tau, ça ne change rien de fondamental, donc la plupart des mathématiciens utilisent pi, parce que c’est lui qui est arrivé en premier. :)


Looping : Après il y a des fois où c’est clairement pas évident de voir où intervient le cercle. Par exemple pour reprendre l’exemple de Demandred, $\int_0^\infty e^{-t^2}dt$, tu as une intégrale avec une exponentielle, et pouf, le résultat fait intervenir $\pi$. Certes comme une des résolutions passe par les coordonnées polaires, tu peux t’attendre à pi, mais perso je trouve que c’est plus un "hasard de calcul" qu’une explication.

Pareil pour la probabilité que deux nombres inférieurs à $N$ soient premiers entre eux, quand $N$ tend vers l’infini la probabilité tend vers $\frac 6 {\pi^2}$, même si c’est assez bien expliqué sur Wikipedia (et que de mémoire le $\pi$ de $\zeta(2)$ peut s’expliquer via les séries de Fourier), lier arithmétique et cercle, ça me semble pas intuitif. Et le pire, c’est que des formules comme ça il y en a plein : formule de Stirling, des fractions continues cheloues, etc. ^^

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C’est bizarre Visuellement il faut 2 $\tau$ pour faire un $\pi$ mdr

Blackline

Grillé, je préparais une blague dessus :D

et que de mémoire le π de ζ(2) peut s’expliquer via les séries de Fourier

De mémoire il y a une preuve avec un changement de variable trigonométrique dans Proofs from the Book

Holosmos

J’ai vraiment envie de lire ce livre mais il me manque un peu d’argent :(

Sinon si tu ne l’as pas déjà vu je te conseille vivement cette vidéo.

Et tant qu’on parlait de τ :

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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