Atome d'hydrogène

a marqué ce sujet comme résolu.
Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je revois mon chapitre sur l’atome d’hydrogène et j’ai quelques points flous quant à la résolution de l’équation de Schrödinger associée.

Pour l’atome d’hydrogène on peut écrire selon ce qu’on connait $\left( { - \frac{{{\hbar ^2}}}{{2{m_e}}}\Delta - \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r}}} \right)\Psi (x,y,z) = E\Psi (x,y,z)$.

D’après ce que j’ai compris, au vu de la symétrie sphérique du problème, il est préférable transformer le tout en coordonnées sphériques. On obtient donc une nouvelle expression de $\Delta$, etc. Dès que c’est fait, on peut remarquer la présence de l’opérateur ${{\hat L}^2}$. Comme cette partie est indépendante de $\theta$ et $\varphi$, on peut écrire ${{\hat L}^2}Y_l^m(\theta ,\varphi ) = {\hbar ^2}l(l + 1)Y_l^m(\theta ,\varphi )$ avec $Y$ les harmoniques sphériques. Pas sûr de bien comprendre pourquoi on peut faire ça.

C’est donc via la résolution de l’équation dépendante de $\theta$ et $\varphi$ (pas la radiale) qu’on fait apparaître le nombre quantique azimuthal (ou du moment angulaire). Vu que dans l’équation de Schrödinger de départ (en coordonnées sphériques) on a une partie dépendante de $r$ et une des deux angles $\theta$ et $\varphi$, on peut faire une séparation de variables $\Psi (r,\theta ,\varphi ) = R(r)Y_l^m(\theta ,\varphi )$ . En substituant dans l’équation de départ la séparation de variable, ${{\hat L}^2}$ et en réarrangement un peu (diviser par $2\mu {r^2}$) on obtient l’équation radiale.

Comment résoudre cette équation radiale ?

Je cherche pas les détails algébriques mais la méthode uniquement. Je sais qu’on peut le faire via une série entière (Taylor ou autre) comme l’oscillateur harmonique mais exactement comment je ne saurais pas dire. Ca fait intervenir un polynôme de Legendre il me semble.

A partir de là, on devrait trouver la quantification de l’énergie et donc du nombre quantique principal.

Dernière petite question, comment on fait apparaître $m$ (nombre quantique magnétique) encore ? C’est la projection de $L$ sur l’axe $Oz$ mais, hum, j’ai un trou de mémoire de comment le trouver :p

Merci d’avance !

Édité par ZDS_M

+1 -0

Dernière petite question, comment on fait apparaître $m$ (nombre quantique magnétique) encore ? C’est la projection de $L$ sur l’axe $Oz$ mais, hum, j’ai un trou de mémoire de comment le trouver :p

ZDS_M

Je me souviens que :

$$ \text{d}P_{nl} = r^2|R_{nl}|^2\text{dr} $$

Car le nombre magnétique disparait par Normalisation des Harmoniques Sphériques :

$$ \frac{\text{d}P_{nl}}{r^2|R_{nl}(r)|^2\text{dr}} = \int_0^{\pi} sin\theta\text{d}\theta \int_0^{2\pi} \text{d}\varphi |Y_{lm}|^2 = <Y_{lm}|Y_{lm}> $$

Si ça peut aider. Mais j’en ai aucune idée :D

Édité par Blackline

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

+1 -0
Auteur du sujet

Merci ! J’avoue que ça m’aide pas énormément mais si jamais quelqu’un de calé en mécanique quantique est parmi nous, ça m’intéresse ! Et si jamais c’est pas clair, je peux mettre tous les détails mathématiques pour, peut-être, mieux comprendre.

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Alors la j’ai pas accès à ma référence (le Cohen) mais à vu de nez ça doit être a la fin du Tome I (resolution de l’atome d’hydrogène et moment angulaire).

Tu devrais préciser tes questions, car la c’est hyper large et à part te recopier 50 pages de cours de mecaQ je ne vois pas comment c’est possible (et faut bien maitriser les prérequis pour tous comprendre ^^).

(tu as googlé ? c’est quand même un truc hyper classique, tu dois trouver pas mal de pdf avec la resolution je pense)

Deux/trois info (mais qui doivent être intégrées dans un cours pour donner une image générale):

pou $L$ : Comme on montre que les solutions de l’équation aux valeurs propre : $L\psi = \lambda \psi$ sont de la forme $f(\theta, \phi)$ (que l’on note généralement $Y_l^m(\theta, \phi)$, en anticipant sur la suite) on montre implicitement que n’importe quelle fonction du type de $g(r)f(\theta, \phi)$ est fonction propre de $L$ et de même valeur propre que $f(\theta, \phi)$ .

Ensuite comme on montre $[H,L^2]=0$. Cela implique que $L^2$ et $H$ on les mêmes fonctions propres $g(r)Y_l^m(\theta, \phi)$. On a donc déjà une idée de la forme des fonctions propre. Logiquement on cherche les solutions de l’équation de Schrödinger sous cette forme (cad : $g(r)Y_l^m(\theta, \phi)$ ).

Pour $m$ : Comme $L_z = -i\frac{\partial}{\partial \phi}$ l’équation aux valeurs propre $L_z \psi = \lambda \psi$ donne $-i\frac{\partial \psi}{\partial \phi} = \lambda \psi$ qui se résout facilement : $\psi(\phi)= e^{i\lambda \phi}$

Comme bien sur elle doit être periodique sur $2\pi$ et bien $\lambda$ doit être un entier, c’est ce qu’on appelle $m$.

Ensuite en jouant un peu avec $L_+$ et $L_-$ on peut démontrer que $-l \leq m \leq +l$.

Édité par Vael

+1 -0
Auteur du sujet

Merci Vael. J’avais pas trouvé grand chose sur le net mis à part ceci mais qui est incomplet je trouve (enfin, c’est pas la méthode que j’ai vu en cours). J’ai pris un livre de quantique et c’est effectivement bien expliqué du coup je vais lire ça et revenir avec des questions s’il y en a!

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Du coup j’ai un peu regardé, en effet sur internet il n’y a pas grand chose.

Sur le wiki de l’atome d’hydrogène tu as la méthode du Landau-Lifchitz (mais en moins bien que dans le bouquin). Bon ça résout pas vraiment, ça mets en forme puis ça dit : bon voila les solutions de ce type d’équation c’est les polynôme de Laguerre. Ça met en évidence la quantification des valeurs propre de H. Même méthode dans le Messiah, hyper succinct dans le corps du cours mais avec en annexe des détails sur les fonctions hypergéométriques confluente et Laguerre (j’ai pas regardé plus que ça).

J’ai regarde le Cohen, la méthode est un peu différente, c’est plus "avec les mains", il n’utilise pas de résultat tous prêt. Et tu obtiens à la fin les même résultat mais ils ne sont pas identifié comme polynôme de Laguerre.

Perso je préfère cette méthode.

En tapant "atome hydrogène fonction onde radiale" dans Google on trouve quand même des trucs, mais c’est rarement agréable à lire. Par curiosité, c’est quoi le bouquin que tu as pris ?

+1 -0
Auteur du sujet

Merci !

J’ai pris celui que t’as nommé ci-dessus, le Cohen. C’est assez différent mais au moins c’est détaillé. Car j’ai regardé dans un de mes livres de référence, Quantum Chemistry de McQuarrie, et il explique très bien les résultats mais pas comment les trouver… Par exemple, pour la résoulution de l’équation radiale, il dit simplement "By a series expansion, …" ce qui m’aide pas :p

+0 -0
Connectez-vous pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore membre ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte