Introduction aux probabilités

Un tutoriel d'introduction aux probabilités en expliquant les principe fondateurs et principaux résultats (lois de grands nombres et théorème central limite) sans rentrer dans la technicité.

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Auteur du sujet

Tout le monde se secoue ! :D

J’ai commencé (mercredi 12 avril 2017 à 13h43) la rédaction d’un tutoriel au doux nom de « Introduction aux probabilités » et j’ai pour objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limites pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l’adresse suivante :

Il n’y as pour le moment aucune images, j’essairais d’en ajouter dans la prochaine version. Mais si certains souhaitent me faire dons d’images appropriés ils sont les bienvenus !

Merci !

Édité par sylviel

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Salut !

Voici mes premier commentaires de relecture.

Je me concentre sur le fond puisque la forme contient pas mal de faute de frappes, de français mais sans trop de gravité.

Evènements, probabilité et variables aléatoires

L’univers et les évènements élémentaires

Je trouve ça un peu rapide. En tant que matheux j’ai pas de mal à suivre, mais pour un public jeune il faut à mon avis plus de temps avant d’amener cette première définition.

D’ailleurs cette définition pourrait être amenée comme conclusion de cette partie. On présente telle et telle situation et on en conclut par la mise en place d’une notion générale.

Probabilité

C’est un peu rapide aussi. Je trouve les exemples pas très faciles à appréhender. Encore une fois, je doute qu’un public jeune et peu expérimenté arrive à s’accrocher autant, même si ça pose moins problème dans le supérieur.

Il faudrait donc peut-être fixer plus précisément le public et les pré-requis pour ton écrit …

Variables aléatoires

Pour le coup la définition est pas assez claire. On aurait aimé plus de précision.

Loi de probabilité

Même remarques.

Espérance et variance

Mêmes remarques. Trop rapide et pas assez synthétique là où on en aurait besoin.

Ça manque d’exemple pour la version continue.

Tu donnes des règles de calculs à la fin. Je pense que ça serait mieux si c’était des résultats, plutôt que des recettes magiques.

Quelques lois usuelles

Très bonne chose ces exemples. Peut-être qu’il aurait fallu les illustrer par la pratique un peu plus.

Loi des grands nombres et théorème central limite

On peut rendre rigoureux cette définition à l’aide des probabilités conditionelles, mais cela prendrait un peu de temps.

Quel est le but de ton tuto ? Donner de la rigueur ou des outils ? Est-ce que rajouter de la rigueur empêcherait vraiment de faire ce que tu veux ?

Surtout que, par exemple, l’indépendance est très mal comprise par les étudiants. Ça me semble pas du luxe d’être précis et rigoureux sur les points délicats.

Je trouve cette partie un peu plus brouillonne. On sait pas trop par quel bout s’y prendre. Ça manque de contexte et de précision dans les résultats.


En bref, voici mes remarques générales :

  • Il n’y a aucune démonstration. Ce qui me fait dire que ce n’est pas un contenu mathématique.
  • En lien avec la remarque précédente : il faut absolument que tu précises la visée de ton contenu. Dans quelles circonstances on peut être amené à l’utiliser ?
  • Sur ce même thème : il faut préciser les pre-requis et le contexte général de ce tutoriel. Des exemples sont présents, mais je doute qu’ils suffisent à comprendre tout le contenu.
  • Amener les définitions avant les exemples me semble un péril facilement évitable en inversant l’ordre. Des exemples pourraient amener plus naturellement les définitions. Sans que cela empêche de rajouter des exemples également après les définitions.

Y du boulot, mais la base n’est pas mauvaise et tu as déjà bien avancé :-)

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Auteur du sujet

La question du but et du public du tuto est bonne. A priori je m’adresse à des élèves de TS ou de L1 qui font des probas depuis quelques années sans jamais vraiment comprendre de quoi on parle. Mon objectif est de mettre au clair :

  • ce qu’est une variable aléatoire

  • ce qu’est une espérance, une variance

  • comprendre intuitivement ce que raconte la LGN et le TCL

Je n’ai pas voulut donner de démo car certaines sont vraiment hors de portée d’un tuto (LGN et TCL). En revanche j’ai hésité à en donner sur la partie "règles de calcul". Sans doute une fois que j’aurais trouvé comment faire des parties "collapsables".

Pour l’indépendance je vais réfléchir à faire une présentation plus rigoureuse sans en écrire des tartines. l’état de mes réflexions pour le moment : - E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]E[g(Y)] c’est trop "peu applicable" - P(Y=y|X=x) = P(Y=y) pourrait se faire proprement dans le cas discret mais nécessite une section de plus sur le conditionel. - L(Y|X) = L(Y) me semble trop abstrait

Pour la précision dans les résultats du TCL l’éceuil vient du fait que donner un vrai résultat nécessiterait une définition de convergence en Loi (argh), et même sans la définir il faudrait longuement commenter la renormalisation par sqrt(n). Je préfère me contenter de dire "pour n assez grand" une somme/moyenne de va iid "ressemble" à une loi Gaussienne. Ce qui est la conclusion pratique à retenir pour qui ne veut plus faire de maths par la suite.

Ceci dis je prends note des remarques et vais essayer de proposer une seconde version :)

P.S: pour couvrir ces définitions et résultats de manière rigoureuse il faut en général un poly de 50 pages. Donc pour garder quelque chose de concis il faudra sacrifier quelque part.

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A priori je m’adresse à des élèves de TS ou de L1 qui font des probas depuis quelques années sans jamais vraiment comprendre de quoi on parle.

En TS ou L1 tu dois partir du principe que l’élève a jamais fait de proba. C’est ce qui ressort le plus. Même si c’est fait dans les années avant, c’est très superficiel et largement insuffisant pour partir du principe que les élèves ont une expérience en arrivant.

Je n’ai pas voulut donner de démo car certaines sont vraiment hors de portée d’un tuto (LGN et TCL). En revanche j’ai hésité à en donner sur la partie "règles de calcul". Sans doute une fois que j’aurais trouvé comment faire des parties "collapsables".

Tu n’as pas à tout démontrer. Mais je pense qu’il y a de la marge pour faire plus de choses.

Pour l’indépendance je vais réfléchir à faire une présentation plus rigoureuse sans en écrire des tartines. l’état de mes réflexions pour le moment : - E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]E[g(Y)] c’est trop "peu applicable"

Vraiment ? Je pense pas que ce soit si délicat.

P.S: pour couvrir ces définitions et résultats de manière rigoureuse il faut en général un poly de 50 pages. Donc pour garder quelque chose de concis il faudra sacrifier quelque part.

Et c’est une très bonne chose de faire quelque chose de plus concis est différent. Je pense qu’à présent le plus important c’est de bien fixer le public, le but et les pré-requis. Après ça roulera tout seul :-)

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En TS ou L1 tu dois partir du principe que l’élève a jamais fait de proba. C’est ce qui ressort le plus. Même si c’est fait dans les années avant, c’est très superficiel et largement insuffisant pour partir du principe que les élèves ont une expérience en arrivant.

Holosmos

Ayant un manuel de TS sous les mains, je me suis dis que ça pouvais vous servir. Voici le programme de probabilité en TS : les probabilités conditionnelles, l’indépendance de deux évènements et les les lois de probabilité à densité (loi uniforme, loi exponentielle, loi normale centrée réduite, lois normales). Pour ce qui est de la 1S, je ne m’en souviens plus et je ne sais pas ce qui se fait avant.

Mais c’est vrai que les probabilités sont assez flous, en tout cas pour moi. Il y a juste des formulations qu’on apprend par cœur pour pouvoir décrire une variable aléatoire qui suit une loi (je pense surtout à la loi binomiale).

Édité par tleb

Salut !

Est-ce utile de mettre un avertissement de ce genre ? "Dans ce tutoriel j’oublierais allègrement les questions de mesurabilité ou de σ−additivité. Les résultats seront parfaitement juste dans le cas fini, et juste à des conditions techniques près dans le cas général.".

Soit je suis un lecteur qui comprend ses notions et je n’ai pas besoin de lire ton tutoriel. Soit je n’y comprends rien et ces deux termes barbares me donneront envie de partir en courant. Je sais que tu l’annonces pour être rigoureux, mais je ne pense pas que ça soit utile. Celui qui viendrait te le reprocher serait de bien mauvaise foi : c’est un cours pour débutant !

Tu commences a parler d’ensemble et à définir des opérations sur les ensembles, mais est-ce que le lecteur est à l’aise avec le sujet ? En terminale je pense que c’est très rarement le cas. Tu devrais à mon sens faire au moins une partie sur le sujet non ? Je pense qu’autant un terminal S de niveau moyen y retrouvera ses petits, autant un étudiant moyen en ES risque de décrocher ! Beaucoup d’étudiants en économie viennent de ES et étudient les probabilités en licence. Je ne sais pas si ton cours s’adresse aussi à eux, mais dans ce cas il faut y aller plus en douceur. :p

Je trouve que le formalisme devrait être plus expliqué. Par exemple quand tu défini l’univers en indiçant les $\omega_i$ je dirais que tu vas perdre la majorité des lycéens ou étudiants de 1ére année. Le formalisme est très utile quand on le maitrise, mais quand on découvre une notion il faut y aller très doucement. N’oublie que ton lecture découvrira à la fois le sujet et la formalisation mathématique, qu’il aura peu rencontrée avant. Tu dois donc expliquer les deux correctement. J’ai l’impression que les gens bons en maths oublient rapidement à quel point le formalisme qu’ils utilisent est coûteux à acquérir. :p

Pour rebondir là dessus, je trouve que tu ne donnes pas assez d’exemples ou d’illustrations. Que ça soit sur les ensembles, ou les lois usuelles ou encore les propriétés de la variance, rien ne va mieux que sans un bon exemple. Voir plusieurs. Sur les lois usuelles tu te comportes comme un matheux : tu donnes des propriétés du trucs et tu es content car tu as fais ton travail et décrit ton objet mathématique. En attendant le lecteur n’a toujours pas compris à quoi peut bien servir ce truc. :p Tu dois lui donner des exemples d’utilisation !

Idem sur les propriétés de la variance ou de l’espérance. Cela va toujours mieux avec une illustration.

Pour conclure, j’ai l’impression que tu tombes dans le travers de la plupart des gens qui ont un bon niveau dans un domaine, surtout en maths. Tu oublies à quel point un débutant peut être rebuté par le formalisme et les définitions. Surtout si il n’a pas un bac S. En ES, le niveau moyen en maths est vraiment… moyen. Les étudiants ont peur des maths, ils ont vraiment besoin d’exemple d’explications détaillées. Et puis même quand on est bon en maths, des exemples et explications ça ne fait jamais de mal. Au pire on les lit rapidement, au mieux cela nous assure de bien comprendre la notion.

“Your manuscript is both good and original. But the part that is good is not original, and the part that is original is not good.” Attributed to Samuel Johnson

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J’ai l’impression que les gens bons en maths oublient rapidement à quel point le formalisme qu’ils utilisent est coûteux à acquérir.

Sur les lois usuelles tu te comportes comme un matheux : tu donnes des propriétés du trucs et tu es content car tu as fais ton travail et décrit ton objet mathématique

Pour conclure, j’ai l’impression que tu tombes dans le travers de la plupart des gens qui ont un bon niveau dans un domaine, surtout en maths.

Merci d’éviter des jugements à l’emporte pièce … Tu ferais bien de lire la discussion avant de juger de la sorte. Surtout que tout le monde est déjà d’accord sur le fait que le tuto manque d’explications et de clarté.

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Merci d’éviter des jugements à l’emporte pièce … Tu ferais bien de lire la discussion avant de juger de la sorte.

Je donne juste une impression personnelle, qui est que souvent il y a un certain décalage entre le niveau réel des tutos et le niveau accessibilité visé. Et je crois sincèrement que ça vient probablement d’une habitude au formalisme mathématique. Un truc tout bête qui l’illustre bien, c’est le fait de toujours bien indiquer les domaines de définition et d’appartenance des variables et de le noter de façon mathématique. Le débutant en maths préféra écrire/dire "soit un réel $x$" alors que le matheux écrira : $x \in \mathbf{R}$ ce qui est plus formel et plus abstrait. Le "non matheux" va plutôt écrire un ensemble sous la forme $\{ \omega_1,\omega_2,..,\omega_n \}$ alors que le matheux adoptera une forme indicée plus compacte.

Je pense que tu ne vois pas ce genre de différences car tu y es habitué depuis longtemps. Mais pour être en économie je trouve qu’on vois bien cette différence selon les ouvrages. Un livre niveau licence ou se voulant moins formelle choisira la plupart du temps (au moins en première introduction) une notation explicite et longue. Alors que l’ouvrage de finance pour école d’ingé adoptera directement un formalisme plus poussé car son public n’aura pas de soucis. Et on voit bien la réaction des étudiants.

Donc je maintient ce que je dis. ;) La façon d’écrire des maths de l’auteur montrent clairement une habitude au formalisme et des choix de notations condensées qui ne sont pas usuels pour les débutants. Ce n’est pas un crime, personne ne lui en voudra.

Tu ferais bien de lire la discussion

J’avais chargé la page avant les commentaires avant de partir en cours, et en commentant j’ai oublié d’actualiser désolé. Du coup en effet ce que j’ai dis fait un peu doublon avec ton intervention.

Édité par Demandred

“Your manuscript is both good and original. But the part that is good is not original, and the part that is original is not good.” Attributed to Samuel Johnson

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Tu dis que tu t’adresses à des gens "qui font des probas depuis quelques années sans jamais vraiment comprendre de quoi on parle". Très bien, ça me paraît une bonne cible.

Mais justement, ce public-là, il attend quoi ? Pourquoi il a fait une allergie aux explications données en cours ? Selon moi, il faut d’abord intéresser ce public là, c’est l’objectif n°1 d’un tutoriel, l’instruire vient ensuite. Tu ne peux pas l’instruire si tu ne lui a pas donné du plaisir à te lire.

Et pour retenir ce public, pour l’intéresser, je pense que tu devrais te fixer un objectif : ne pas utiliser la moindre lettre grecque tant que ce n’est pas strictement indispensable.

Là, à partir du moment où tu as choisi un mode de communication apprécié des matheux, c’est que tu t’adresses à des matheux, à des élèves qui n’ont pas encore appris ces notions, mais qui sont ’armés’ pour les apprendre via ce tutoriel, ou via n’importe quel autres cours de probas.

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