probabilité d'avoir 5 carrés de même couleur sur la face d'un Rubik's Cube

a marqué ce sujet comme résolu.
Auteur du sujet

Salut à tous,

je me demande, comme le titre l’indique, quelle est la probabilité d’avoir 5 carrés de même couleur sur une face en mélangeant un Rubik’s Cube de manière aléatoire. Du coup j’y est réfléchi un peu avec mes légères bases de combinatoire qui viennent principalement de la dernière vidéo de Eljj, i.e. les nombres de Catalan. Déjà on peut simplifier le problème à une seule face de 8 carrés (puisque le carré du milieu est fixe) choisis parmi les $6*8 = 48$ possibles.

Je pense qu’il faut arrivé à une formule du genre :

$$\frac{\text{Nombre de cas où la condition est vérifiée}}{\text{Nombre de cas où la condition n'est pas vérifiée}}$$

Mais je ne vois pas quelle formule il faut utiliser (j’exclurais quand même la factorielle).

Merci d’avance pour vos réponses :) .

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Je suis un peu perplexe sur ta question. Parce que même si tu agis aléatoirement sur ton Rubik’s cube, la configuration que tu obtiens n’est pas si aléatoire que ça. (En termes matheux, je dirais qu’on n’obtient pas des configurations uniformément distribuées.)

Par exemple, tu ne peux pas échanger deux cubes choisis n’importe comment, puisque le Rubik’s cube doit toujours rester résoluble.

Par ailleurs, même si on met de côté ce problème, ta formule

$$\frac{\text{Nombre de cas où la condition est vérifiée}}{\text{Nombre de cas où la condition n'est pas vérifiée}}$$
LudoBike

est fausse. (Ça ne marcherait même pas pour un lancer de dé.)

+0 -0
Auteur du sujet

Ah ouais, la formule c’est

$$\frac{\text{Nombre de cas où la condition est vérifiée}}{\text{Nombre de possibilités}} $$

Je suis un peu perplexe sur ta question. Parce que même si tu agis aléatoirement sur ton Rubik’s cube, la configuration que tu obtiens n’est pas si aléatoire que ça. (En termes matheux, je dirais qu’on n’obtient pas des configurations uniformément distribuées.)

Du coup il faudrait utiliser quoi pour le modéliser ?

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

+0 -0

On va simplifier le problème, on va supposer qu’on a le droit de démonter le Rubik’s cube et de le remonter…

L’erreur suivante dans le petit début de raisonnement que tu as fait, c’est le 6x8. S’il y avait seulement 48 combinaisons possibles, on compterait à la main toutes les dispositions, ça irait très vite.

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Bonjour,

petites sugestions :

Pour calculer le nombre de dispositions possibles en tout, tu peux modéliser ton Rubik’s cube par trois ensembles :

  • les centres, qui ne bougent pas et qui ne rajouteront pas de possibilités
  • les sommets, 8 en tous (3 orientations chacun)
  • les angles, 8 également (2 orientations chacun)

Il ne reste plus qu’à trouver le nombre de facons possibles d’ordonner les sommets, puis les angles. Ensuite, multiplier par les ensembles d’orientations possibles.

J’imagine que ta question est : "quelle sont les chances pour qu’il y est au moins une face avec exactement 5 carrés de la même couleur ?"

Il suffirait donc, pour avoir le nombres de configurations où la condition est vérifiée, de calculer celui-ci pour une face puis le multiplier par 6 (bien que là j’ai un doute).

voilà donc quelques indications pour une face et une couleur (il faudra donc aussi multiplier par le nombre de couleurs):

premièrement, il y a deux cas :

  • la couleur qui apparait cinq fois est celle du carré central (qui ne bouge pas)
  • la couleur qui apparait cinq fois n’est pas celle du carré central

on remarque ensuite que pour chaque couleur il y a :

  • 4 sommets la comportant (3 orientations chacun)
  • 4 angles la comportant (2 orientations chacun)

On peut d’abord écrémer en comptant tous les cas pour lesquels le bon nombre de pièces comportants la bonne couleur sont "sur" la face (sans prendre l’orientation en compte)(en prenant bien en compte que "3 sommets et 2 angles" est différent de "2 sommets et 3 angles"). Et ensuite, dans ces cas là, piocher les cas où les pièces ont la bonne orientation.

Voilà. Je crois qu’avec ces étapes (et si je ne me suis pas trompé (ce qui n’est pas du tout garantit)), tous les calculs se rapportent à un des 4 tirages "de base".

Jespar

+0 -0

Je préfère parler d’arêtes, plutôt que d’angle. Le mot angle me fait vraiment penser aux sommets. Et, qu’on appelle ces pièces des arêtes ou des angles, il n’y en a pas 8 mais 12.

En fait, il y a des calculs relativement abordables : Je mélange le Rubik’s cube, je le pose sur la table ; quelle est la probabilité que la face du dessus comporte exactement 5 carrés de la même couleur. Cet exercice est faisable.Dans les grandes lignes, ce qu’a dit Jespar est valable.

Pour cet exercice, il faut beaucoup de rigueur, mais on n’a pas trop de difficultés ’théoriques’. En particulier, on peut considérer que le Rubik’s cube est démontable et remontable à volonté, ça ne change rien au résultat. *Ce que je veux dire là, c’est qu’en mélangeant le Rubik’s cube, on peut mettre sur une face n’importe quel élément dans n’importe quelle orientation. Toutes les dispositions sont possibles, les impossibilités interviennent quand on regarde plusieurs faces, pas quand on regarde une seule face. *

Après, passer de ce résultat sur une face à l’exercice <Probabilité qu’au moins une des 6 faces ait exactement 5 carrés de même couleur>, c’est une autre paire de manche.

Édité par elegance

+0 -0

Je préfère parler d’arêtes, plutôt que d’angle. Le mot angle me fait vraiment penser aux sommets. Et, qu’on appelle ces pièces des arêtes ou des angles, il n’y en a pas 8 mais 12.

Oui, je me suis trompé :-°

Après, passer de ce résultat sur une face à l’exercice <Probabilité qu’au moins une des 6 faces ait exactement 5 carrés de même couleur>, c’est une autre paire de manche.

En effet, la proposition que j’ai faite de calculer le nombre de cas pour une face puis de multiplier par 6 est un peu bête puisque quand il y a exactement 5 carrés de la même couleur sur plusieurs faces, les cas s’entre-croisent. :(

j’ai aussi fait une autre bourde :

On peut d’abord écrémer en comptant tous les cas pour lesquels le bon nombre de pièces comportants la bonne couleur sont "sur" la face

C’est faux puisqu’il y a aussi des cas où il y a plus de 4 ou 5 pièce "sur" la face mais seulement 4 ou 5 sont bien orientés. Il faut donc compter les cas où un nombre suffisant de pièces sont présentes.

Bref j’ai dit plein de bêtises…

+0 -0
Auteur du sujet

L’erreur suivante dans le petit début de raisonnement que tu as fait, c’est le 6x8. S’il y avait seulement 48 combinaisons possibles, on compterait à la main toutes les dispositions, ça irait très vite.

elegance

J’ai relu ma phrase, elle est pas très claire mais je ne voulais pas dire qu’il y a 48 combinaisons mais 48 carrés à placer.

J’imagine que ta question est : "quelle sont les chances pour qu’il y est au moins une face avec exactement 5 carrés de la même couleur ?"

Ce serait plutôt "quelle sont les chances pour qu’il y est au moins une face avec au moins 5 carrés de la même couleur ?". Après si l’autre est plus simple c’est pas grave.

Je me demande, comment il faut faire pour gérer le fait qu’il n’y a que 4 sommets sur les 8 sur la face ?

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

+0 -0
Auteur du sujet

Je me demande, comment il faut faire pour gérer le fait qu’il n’y a que 4 sommets sur les 8 sur la face ?

je ne comprends pas ta question… Il y a 8 sommets et 6 face non ?

Jespar

Oui mais il n’en faut que 4 pour une face, parmi les 8 disponibles.

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Quel est ton objectif ?

  1. Connaitre la probabilité d’avoir au moins 5 carrés de couleurs. Si c’est vital pour toi, tu peux trouver quelqu’un qui va calculer ce chiffre : par programmation, recenser plein de mélanges de façon aléatoire, et estimer cette probabilité

  2. Apprendre à calculer ce chiffre par toi-même, non par estimation, mais par des formules rigoureuses : la barre est très haute, et tu en es très loin. Oublie pour un certain temps. Par exemple, quand tu poses ta dernière question, tu nous montres que tu es très loin du niveau nécessaire.

  3. Te former aux exercices de probabilités, il y a des tas d’exercices plus raisonnables et plus pédagogiques.

+0 -0
Auteur du sujet

Quel est ton objectif ?

Ce serait le 1 et le 2.

la barre est très haute, et tu en es très loin. Oublie pour un certain temps. Par exemple, quand tu poses ta dernière question, tu nous montres que tu es très loin du niveau nécessaire.

elegance

Ok, je vais garder ce problème dans un coin de ma tête pour plus tard :) .

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Oui il y a bien 8 cubes de milieu (avec 1 face de visible), 12 cubes de sommet (avec 2 faces) et 8 angles (avec 3 faces). Pour retomber sur les 56 faces.

1
2
3
4
cubes     faces     Nbr de face    Total
  8    x    3     =     24
 12    x    2     =     24      ->  48
  6    x    1     =     06      ->  56

Ce que je veux dire là, c’est qu’en mélangeant le Rubik’s cube, on peut mettre sur une face n’importe quel élément dans n’importe quelle orientation. Toutes les dispositions sont possibles, les impossibilités interviennent quand on regarde plusieurs faces, pas quand on regarde une seule face.

elegance

Un Rubik’s cube ne peut pas être reconstruit n’importe comment. Un article explique ça.

✈️ // 🐺 Ami des loups // 🎮 Coding Game // 🐤 Twitter @A312_zds // :B // L’hiver vient // @**A-312** pour me ping

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Le problème, c’est que cette question trotte aussi dans ma tête, et qu’elle va trotter tant qu’elle ne sera pas solutionnée.

Donc voici des éléments. Déjà, reformuler la question : on mélange un Rubik’s cube, on le pose sur la table, on regarde la face du dessus, et on demande la probabilité d’avoir 0,1, 2 …9 carrés rouges sur cette face.

L’avantage de calculer toutes les probabilités, c’est qu’on pourra faire un contrôle efficace, si la somme des 10 nombres obtenus ne donne pas 1, c’est qu’il y a une erreur.

Et pour arriver à résoudre cet exercice, on va d’abord résoudre 3 exercices :

  • Pour la case centrale, proba qu’elle soit rouge.

  • parmi les 4 arêtes, proba d’avoir 0 rouge, 1 rouge, 2 rouges, 3 rouges ou 4 rouges

  • parmi les 4 sommets, proba d’avoir 0 rouge, 1 rouge, 2 rouges, 3 rouges ou 4 rouges

Pour la case centrale, c’est facile.

Pour les arêtes, on a 12 arêtes, dont 4 avec une face rouge.

On va déjà faire l’impasse sur l’orientation : Quelle est la probabilité que les 4 arêtes choisies soient les 4 avec une face rouge, ou seulement 3 sur 4 ou seulement 2 sur 4 etc.

Et ensuite, pour chaque cas, on va prendre en compte l’orientation: si j’ai choisi les 4 arêtes avec une face rouge, je peux avoir orienté les 4 pièces avec la face rouge au dessus, ou seulement 3,ou 2 ou 1, ou même 0. Etc Etc

Pour les arêtes , on arrive aux résultats suivants :

Sur les 4 arêtes retenues, on peut avoir 0, 1, 2, 3 ou 4 rouges, les probas correspondantes sont de :

0 -> 46.07%, 1 -> 42.07%, 2 -> 10.98%, 3 -> 0.86%, 4 -> 0.01%

Et ensuite, on fait un raisonnement identique avec les sommets, et on arrive à :

0 -> 46.58%, 1 -> 41.20%, 2 -> 11.22%, 3 -> 0.99%, 4 -> 0.02%

Et on finit par arriver au résultat :

Proba d’avoir 0 carré rouge sur la face du haut = 17.8835%

Proba d’avoir 1 carré rouge sur la face du haut = 35.7248%

Proba d’avoir 2 carrés rouges sur la face du haut = 29.4441%

Proba d’avoir 3 carrés rouges sur la face du haut = 13.0193%

Proba d’avoir 4 carrés rouges sur la face du haut = 3.3628%

Proba d’avoir 5 carrés rouges sur la face du haut = 0.5171%

Proba d’avoir 6 carrés rouges sur la face du haut = 0.0461%

Proba d’avoir 7 carrés rouges sur la face du haut = 0.0022%

Proba d’avoir 8 carrés rouges sur la face du haut = 0.0000479%

Proba d’avoir 9 carrés rouges sur la face du haut = 0.0000004%

Et la somme fait bien 100%

J’ajoute un autre contrôle : la somme 0x17.88% + 1x35.72% + … + 9x0.00% fait bien 1.5.
Contrôler que les chiffres obtenus sont cohérents, c’est essentiel dans des calculs complexes comme ceux-ci.

Édité par elegance

+0 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte