Dénombrement

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Auteur du sujet

Salut à tous! :magicien:

J’ai un exercice de dénombrement sur lequel je bute.

Le problème est le suivant. Un gars veut ranger 10 livres dans une étagère. 4 livres traitent d’un sujet rouge, 3 d’un sujet bleu, 2 d’un sujet jaune et le dernier d’un sujet vert. Le gars veut toujours que les livres traitant du même sujet soient côte à côte. (Pas bête le gars :D )

La question est évidemment : Combien y-a-t-il de possibilité différentes de ranger ses (foutus) livres?

Mon idée principale était de voir les livres d’un sujet comme des blocs. Un de 4 livres, un de 3 livres, 1 de 2 livres et un de 1 livre. Je voulais calculer le nombre de façon différente de placer chaque bloc dans l’étagère et ensuite de multiplier ce nombre par les permutations de chaque livre dans un bloc, mais j’arrive systématiquement à un nombre trop élevé de possibilité.

Ma formule était la suivante : $7*20*3*1*4!*3!*2!*1!=120960$

Les 4 premiers chiffres sont respectivement le nombre de possibilité différente de placer chaque bloc en commençant par celui de 4 livres et en tenant compte des autres blocs et les factorielles sont les permutations à l’intérieur de chaque bloc de livre.

La réponse de mon bouquin est $6912$ mais évidemment aucune explication n’est fournie :lol:

Je me doute bien que ma façon de procéder pour placer les blocs n’est pas bonne mais je sèche.

Un petit coup de main serait apprécié! :ninja:

Mala malus mala mala dat.

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Ton idée est bonne, et je tombe bien sur 6912 de mon côté.

Commence par calculer le nombre d’arrangement des paquets de livres, comme tu as voulu le faire au début. Une fois cet arrangement fixé, il te reste à calculer le nombre d’arrangement des livres au sein de chaque paquet.

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J’essaie de deviner d’où viennent les 7x20x3x1 du début de ta formule, mais je ne vois pas du tout.

Un truc qui devrait te permettre toi-même de faire une vérification : tu arrives à ce produit AxBxCxD ; si tu avais A>B>C>D, ou bien A<B<C<D, il y aurait une certaine logique, mais ici, le nombre le plus grand, ce n’est ni le premier ni le dernier, mais le 2ème. C’est suspect. Donc même si on ne te donnait pas la réponse 6912, tu devais te poser quelques questions.

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Representons les 4 livres par A1 A2 A3 A4, les 3 livres par B1 B2 B3, les 2 livres par C1 C2 et l’autre livre par D1. Il y a 24 facons d’arranger les livres du bloc A, 6 facons pour le bloc B, 2 facons pour le bloc C et une seule facon pour le D. En fixant un ordre precis des blocs, par exemple ABCD on a 24.6.2.1 arrangements des livres possible dans cet ordre precis des blocs. Puis il faut maintenant prendre en compte le nombre d’arrangement des blocs qui est de 4.3.2.1 car on a 4 blocs. Enfin on a bien 24(24.6.2)=6912. Ce n’est pas tres clair car avec tous les details ca peut etre long.

Édité par olivier3rk

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Auteur du sujet

Merci beaucoup! Je comprends maintenant mon erreur. Pourquoi faire simple quand on peut se tromper? Mieux vaut se mêler les pinceaux.

Mala malus mala mala dat.

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