Factoriser des polynômes

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Auteur du sujet

Bonjour,
J'aborde actuellement en mathématiques le chapitre sur les polynômes et, je ne sais pas pourquoi, je ne suis absolument pas serein face à celui-ci.

Je suis bloqué sur la question suivante :

Factoriser dans $\mathbb{C} [X]$ puis dans $\mathbb{R} [X]$ le polynôme suivant : $P(X) = X^3+1$

J'ai bien compris que dans $\mathbb{C} [X]$, $P(X)$ s'écrira comme ça :

$$ P(X) = (X-x_1)(X-x_2)(X-x_3) $$

Avec $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines de ce polynômes. Il possède une racine évidente qui est $x_1 = -1$ mais quid des deux autres ? Comment les trouver ?

Merci à vous

Édité par Wizix

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Si je ne dis pas de bêtise pour polynôme de degré 3 avec une racine évidente, pour trouver les autres racines il suffit de factoriser par cette racine (ça donne quelque chose comme $P(X) = (X-x_1)(aX²+bX+c)$. Une fois que tu le polynôme du second degré tu peux en trouver les racines de façon classique et ainsi trouver les deux racines manquantes !

“Your manuscript is both good and original. But the part that is good is not original, and the part that is original is not good.” Attributed to Samuel Johnson

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Auteur du sujet

En suivant ta méthode, voici ce que j'ai :

$$ P(X) = X^3+1\\ = (X + 1)(aX^2+bX+c) $$

Je résous mon petit système en développant de tel sorte que ce soit égal à $X^3+1$. Je trouve ainsi $a = 1,b = -1, c=1$. Je résous alors $X^2-X+1 = 0$ ce qui me donne deux racines complexes : $x_1 = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ et son conjugué.

J'obtiens alors la factorisation suivante :

$$ P(X) = (X + 1)(X - (\frac{1+\sqrt{3}i}{2}))(X + (\frac{1-\sqrt{3}i}{2})) $$

Merci à toi ! :)

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On peut faire comme le suggère Demandred, mais je te conseille de trouver des solutions complexes de la forme $r e^{i\theta}$.

Ça colle plus à la consigne, qui te fait résoudre d'abord dans les complexes puis les réels.

Édit. : Et en prime ça marche pour toutes les équations de la même forme avec x puissance k, k entier positif.

Édité par Aabu

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