Petite astuce pour retrouver facilement les angles remarquables en trigonométrie

Très court article proposant une méthode permettant de retenir très facilement la valeurs des angles les plus connus sur le cercle trigonométrique.

a marqué ce sujet comme résolu.

Reprise du dernier message de la page précédente

Je suis d'accord avec toi : la méthode est mnémotechnique. Je trouve juste que mélanger des chiffres et des phrases dans un tableau, ça perd en lisibilité. En plus, c'est juste une répétition de ce qui est dit dans le paragraphe

Dans tous les cas, ça reste un détail. :magicien:

Mala malus mala mala dat.

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Auteur du sujet

C'est effectivement ce à quoi je pensais en rédigeant cet article. Je voulais mettre le moins de chiffres possibles pour offrir le meilleur degré d'abstraction et faire en sorte que le lecteur puisse retrouver les valeurs du tableau qu'en se souvenant du moyen mnémotechnique et non des valeurs en soi :)

De ce que je lis grâce à nos très chers critiques, c'est que cette méthode est généralisable pour k variant seulement dans {1, 2, 3, 4, 6}, intéressant… Par contre, Luca-84, je n'ai pas compris ce que représente ton application ϕ(.) ?

Enfin, ce qui me rassure, c'est qu'il y a de vrais pros ici :) !

PS : Je m'excuse pour le retard dans mes réponses, vie (trop) active…

Édité par Mourad_Qqch

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Banni

φ est la fonction totient d'Euler.

Ici, il s'agit de compter le nombre d'angles « algébriquement indiscernables » de l'angle qui nous intéresse (on va dire τ/k1). Par exemple, √2 et -√2 sont algébriquement indiscernables (sur ℚ) car on ne peut pas « voir la différence » entre les deux si on ne s'autorise qu'à faire des manipulations « algébriques », avec des rationnels. Par exemple, pas le droit de savoir si un nombre est positif, cette notion n'existe pas. Tout ce qu'on a le droit de faire, c'est multiplier, diviser, additionner, soustraire, utiliser des constantes rationnelles et tester une égalité. Tout ce qu'on sait, c'est que le carré de √2 est 2 (et pareil pour -√2).

Pour en revenir aux angles, on travaille sur le plan complexe, en associant le point $e^{i\theta}$ à l'angle θ. Si deux points du cercle sont algébriquement indiscernables, alors il en va de même pour leurs parties réelles puisqu'elles sont obtenues par des manipulations algébriques (on prend la moyenne du nombre et de son inverse). Soit $x = e^{i\tau/k}$. On voit déjà que $x$ satisfait l'équation $X^k = 1$. Les points satisfaisant cette relation algébrique sont les puissances de $x$, auxquelles on peut penser comme les entiers modulo k avec l'addition.

On sait donc que tous les points indiscernables de $x$ satisfont $X^k=1$. Mais la réciproque n'est pas vraie : par exemple, $1$ satisfait cette équation mais est discernable de $x$. On peut distinguer certains points facilement. Par exemple, -1 a son carré égal à 1, donc si k > 2, il est discernable de x. On peut ainsi discerner de $x$ les points qui ont une puissance nième égale à 1, avec n < k. La fonction φ compte le nombre de points indiscernables par cette méthode, et en fait je ne dis pas pourquoi mais tous les points discernables le sont par cette métode (cherchez « cyclotomic polynomials » pour en savoir plus). Quand on prend le cosinus de ces nombres indiscernables de x, on se retrouve avec moitié moins de nombres (un nombre étant toujours algébriquement indiscernable de son conjugué).

Ainsi, on voit que la partie réelle de $x$ est indiscernable d'au moins φ(k)/2 réels. Or une racine √q ne peut être algébriquement indiscernable que d'au plus son opposé (puisqu'aucun autre nombre n'a q pour carré).


  1. τ vaut 2π 

Édité par blo yhg

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Auteur du sujet

Bonjour, avec l'université et le boulot, j'ai peu de temps libre mais dès que je le modifierai, je préviendrai ici, j'ai eu des critiques très constructives qui amélioreront l'article. Je n'ai pas de relectures à demander pour le moment, non.

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Auteur du sujet

Salut, oui j'ai pu corriger un peu par ci par là, j'ai l'impression qu'il y a un bug d'affichage au niveau des tableaux, c'est bizarre !

Non merci pour la proposition, c'est vraiment gentil mais je pense qu'il ne reste quasiment plus grand chose :-) J'ai tenu compte des critiques.

Édité par Mourad_Qqch

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