Δ, δ, d, ∂ : Ribambelle de variation.

Traitons de leurs différences

a marqué ce sujet comme résolu.
Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J’ai beaucoup de mal avec la différence entre les notations suivantes :

  • dxdx
  • δx\delta x

Ils font parties d’un quatuor démoniaques, les "d". (Δ, δ, d, ∂ ou Δ,  δ,  d,  \Delta,\;\delta,\;\text{d},\;\partial) qui ne semblent pas poser de problème qu’à moi. Je suis certain que ci et là plusieurs fois, nos zesteux mathématiciens ont déjà donné des bouts d’explications (notamment ici et ). Mais j’aimerais proposé l’étude comparative de ces 4 notations, pour être sûr de ne pas être pommé le jour où je devrais présenter ces notions.

En fait ce qui m’inquiète c’est que faire confiance aveuglément aux ressources disponibles (vidéos, cours personnel etc.) ce n’est pas possible car je sais que j’ai déjà vu certaines de ces notations êtres inter-changées.

1. dd et ddt\frac{d}{dt}

Je prend l’une des premières idées que je pense avoir compris (vous m’dîtes hein ^^ ). Je vais prendre le cas d’une équation différentielle pour x(t)x(t):

τdxdt+x=0\tau \frac{dx}{dt} + x = 0

On m’a appris à résoudre cette équation différentielle en faisant :

dxdt=xτ\frac{dx}{dt} = -\dfrac{x}{\tau}
1x×dxdt=1τ\dfrac{1}{x}\times \frac{dx}{dt} = -\dfrac{1}{\tau}
(1x×dxdt)dt=1τdt\int \left( \dfrac{1}{x}\times \frac{dx}{dt} \right) dt = -\int \dfrac{1}{\tau}dt

Si j’ai bien compris ici on ne peut pas faire dxdt×dt=dx\dfrac{dx}{dt}\times dt = dx car la notation de Leibniz n’est pas une fraction, c’est une notation insécable ?

ln(x)=tτln(x) = -\dfrac{t}{\tau}

Donc la notation dx=3dtdx = 3dt ne revient pas à dxdt=3\dfrac{dx}{dt} = 3 ?

Est-ce que ces résultats sont strictement identiques ?

{(1x×dxdt)dt=ln(x)dxx=ln(x)\left\{\begin{aligned} &\int \left( \dfrac{1}{x}\times \frac{dx}{dt} \right) dt = ln(x) \\ &\int \dfrac{dx}{x} = ln(x) \end{aligned}\right.

2. Variation Δ\Delta et différentielle d\text{d}

En thermodynamique, c’est là où ça devient le grand désordre pour moi. On a du ΔU\Delta U et du dU\text{d}U et j’ai du mal à me rendre compte de ce que ça peut représenter la plupart du temps (déjà parce que UU c’est pas évident à toucher du doigt).

Voilà comment je vois les choses pour dU\text{d}U et ΔU\Delta U :

  • dU\text{d}U est une opération mathématique appelé différentielle qui fait intervenir des dérivés partielles compte tenu du fait que UU dépends de plusieurs variables dU=Uxdx+Uydy+...dU = \dfrac{\partial U}{\partial x}dx + \dfrac{\partial U}{\partial y}dy + ...
  • ΔU\Delta U c’est la différence entre un état macroscopique 22 et un état macroscopique 11 tel que ΔU=U2U1\Delta U = U_2 - U_1

2. Macroscopique Δ\Delta ou microscopique δ\delta

Encore en thermodynamique on retrouve parfois la notation δW\delta W pour le travail. Je vois ça comme une petite quantité mesurable. Je pensais que pour un t+Δtt+\Delta t on avait Δt\Delta t une quantité non négligeable devant tt et pour t+δtt+\delta t une quantité δt\delta t négligeable devant tt ?

2. Différentielle d\text{d} et δ\delta

Pour illustrer des variations petite devant nos incertitudes de mesures on a l’habitude de dire que l’on fait varier, par exemple tt d’une petite quantité dt\text{d}t et donc on a tt+dtt \to t+\text{d}t. Mais certains prof écrivent T+δTT+\delta T pour montrer une petite variation de température…

Sur Wikipédia (article dédié) ils nomment δ\delta quantité élémentaire mais certain prof parlent aussi de "quantité infinitésimale" et "notation différentielle" pour cette même grandeur.

Or ça n’arrange rien, je pensais que seul dx\text{d}x était une différentielle exacte et dxdt\dfrac{dx}{dt} état une différentielle tout court. Et maintenant les lettres grecques aussi sont des différentielles en plus d’être des petites quantités ?


Bonus :

Si quelqu’un peut me donner une idée/piste de la différence entre δW\delta W et WW dans le cas du travail en thermodynamique. Je suis preneur ^^


Merci pour le temps de lecture accordé à ce message

Édité par Blackline

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Il y aurait pas mal de choses à dire, et je ne vais pas répéter ce que j’ai déjà écrit plusieurs fois sur le forum.

Tout d’abord, dxdt\frac{dx}{dt} n’est pas une différentielle c’est une dérivée. Une différentielle, c’est toujours de la forme dfdf avec ff une fonction (qui peut être numérique ou vectorielle).

La différentielle dxdx, c’est par exemple la différentielle de la fonction de coordonnée xx, qui à un point donne sa coordonnée xx.

La différence entre δ\delta et dd est assez subtile, et à ma connaissance, n’est pas utilisée en maths. Dans le wiki, ils écrivent δW=FdL\delta W = F \,dL

Il s’avère qu’en maths, on écrirait simplement W=FdLW=F \,dL, mais δF\delta F permet de souligner le fait que WW est une quantité infinitésimale. En fait, en langage moderne, δW\delta W est une 1-forme différentielle.

Toutes les différentielles de fonctions sont des 11-formes différentielles. (La différentielle d’une 11-forme donne une 22-forme, etc. mais ça n’est pas la question ici.)

Cependant, on peut poser la question : est-ce qu’une 11-forme, par exemple le travail, est la différentielle d’une fonction ? C’est donc une question d’intégrabilité.

Et en général la réponse est non. Cependant, c’est vrai localement, c’est ce qu’on appelle le lemme de Poincaré. Ainsi, écrire δW\delta W et non dWdW permet de souligner le fait qu’on ne sait pas si δW\delta W est intégrable ou non.

Les conséquences sont importantes. Parce qu’une 11-forme intégrable (on dit aussi exacte) , disons par exemple dFdF, va vérifier le théorème de Stokes. Et donc si c ⁣:[0,1]Xc\colon [0,1]\to X est un chemin, cdF=F(c(1))F(c(0)).\int_c dF = F(c(1))-F(c(0)).

Mais par exemple, si l’on prend la température d’un système, cette formule est fausse, car la variation de température dépend du chemin cc, et non seulement des extrémités. Donc, par exemple, δT\delta T est effectivement une 11-forme qui n’est pas intégrable. Et donc cela porte du sens d’écrire δT\delta T et pas dTdT.

Édité par Holosmos

+3 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Je vais répondre à ce que je connais:

  • dUdU est en effet l’opération mathématique que tu décris. En physique on l’interprète généralement comme le calcul la variation infinitésimale de U dans une certaine direction de l’espace des états de U (çad des variables dont dépend U).

  • Δ\Delta c’est une juste une notation pour dire "variation" (on fait une différence quoi). En thermo, on écris généralement ΔABU\Delta_{A\rightarrow B}U pour dire qu’on calcule la différence entre l’énergie interne d’un système dans l’état A et l’état B. En mécanique quantique on utilise aussi le symbole pour parler de l’écart-type de quelque chose (une notation que je n’aime pas trop dans ce cas là).

  • δ\delta en thermo est là pour représenter une différentielle inexacte. En thermodynamique d’équilibre, on n’oublie que nos transformations se déroulent à une certaine vitesse (car une transformation réversible se passe à vitesse infiniment lente). Quand on écris dU=dQ+dWdU = dQ + dW, il n’y a le temps nulle part ! On devrait plutôt écrire: dUdt=dQdt+dWdt\dfrac{dU}{dt} = \dfrac{dQ}{dt} + \dfrac{dW}{dt} Si tu écris dQdt\dfrac{dQ}{dt} et dWdt\dfrac{dW}{dt} en fonctions des états du système Xi(t)X_i(t), la "chain rule" fera apparaître des termes dépendant des dXidt\dfrac{dX_i}{dt}. La notation δW\delta W est juste là pour rappeler qu’on ne peut pas caluler dQdQ et dWdW sans la dépendance en temps en général. Parfois les profs écrivent t+dtt + dt ou t+δtt + \delta t quand ils veulent dériver des équations différentielles en considérant ce qu’il se passe entre tt et t+dtt+dt. Là c’est juste une notation. δ\delta peut être aussi utilisé dans le cadre du calcul variationnel ou en mécanique rationnelle pour différencier la dérivée par rapport au temps dans un référentiel fixe ou en rotation.

Au final, ce qui compte c’est le sens que l’on donne aux notations qui peut parfois un peu varier selon les auteurs.

Édité par ImperatorS79

+0 -0

Je ne suis pas d’accord @ImperatorS79, dU=dQ+dWdU = dQ + dW est juste, et n’a rien à voir avec le temps. On a U(T,P,V)U(T, P, V) (par exemple), et ce sont par rapport à ces variables que l’on peut dériver.

Quand on note δW\delta W ou δQ\delta Q, c’est parce que ces grandeurs sont des grandeurs très petites mais ne sont pas des différentielles exactes. Cela n’empêche que leur somme, dUdU, l’est — par définition (si mes souvenirs de thermo sont bons).

Pour le travail, c’est globalement le bazar complet, et je crois que les notations varient d’un document à l’autre.

Il y a bien des façons de passer à l’acte. Se taire en est une. Attribué à Jean-Bertrand Pontalis

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Je n’ai pas dis qu’elle était fausse.

Quand on note dFdF, on sous-entend généralement que l’intégrale sur un chemin dans l’espace d’état (T,P,V,N) de ce "truc" peut s’écrire comme FfFiF_f-F_i, à l’inverse de si on avait noté δF\delta F. Ce qui ne peut être fait avec QQ et WW et c’est pourquoi on utilise cette notation de "différentielle inexacte". Ce qui veut bien dire que, pour connaître les quantités QQ et WW échangée au cours des transformations; il faut en connaître le chemin. Néanmoins, on pourrait parfaitement écrire une quantité dQ=dQdtdtdQ=\dfrac{dQ}{dt}dt. Le choix dd vs δ\delta et un rappel à l’écrit qu’on peut choisir de ne pas faire.

Si on écrit à l’inverse dUdt=dQdt+dWdt\dfrac{dU}{dt}=\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{dW}{dt}, il suffit juste de "résoudre l’équation", d' "intégrer temperellement" cette équation pour obtenir UU, QQ et WW. Ici on regardera comment varie UU, QQ, et WW entre tit_i et tft_f, plutôt qu’entre (TAT_A, PAP_A, …) et (TBT_B, PBP_B, …), mais la notion de temps ici nous permet de savoir par quel chemin on est passé. Ainsi si on connaît le taux de flux de chaleur, la quantité de chaleur dQdQ échangée en un temps dtdt est bien définie. Et le concept de différentielle inexacte me semble alors superflus. La notation avec des dérivées temporelles à l’avantage de rappeler que les transformations se déroulent en un certain temps, à une certaine vitesse.

Édité par ImperatorS79

+1 -0
Auteur du sujet

Merci énormément pour vos réponses. Elles sont précieuses.

  • @Holosmos J’ai effectivement vu que c’était un peu toujours toi qui t’y mettez quand il s’agissait de rectifier les définitions ou d’en donner des versions "mathématiques". Merci d’avoir joué le jeu une n-ième fois !

  • @ImperatorS79 je suis assez d’accord avec le raisonnement sur dUdt\frac{dU}{dt}. En fait si je comprend bien ce qu’on dit : il n’y a pas lieu d’écrire dU=dQ+dWdU = dQ + dW parce que le système n’est pas à l’équilibre entre les deux états considerés de la transformation. ΔU\Delta U symbolise juste ces deux états et permet le bilan. Si on souhaite passer à la variation de UU on va devoir étudier un système dynamique ?

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Non. Ce que je veux dire c’est que les différentielles sont parfaitement définie si on écrit dF=dFdtdtdF=\dfrac{dF}{dt}dt. Il n’y a aucune raison de l’appeler "inexacte", c’est juste une différentielle (si on connait dFdt\dfrac{dF}{dt}).

En thermodynamique d’equillibre, on parle de différentielle inexacte car on essaie de dire ABdF=ΔABF\int_{A\rightarrow B} dF = \Delta_{A\rightarrow B} F, où ABA\rightarrow B est un chemin entre les états AA et BB du système. Il n’est pas toujours possible que cette intégrale soit indépendante du chemin (QQ et WW). Donc on appelle ces différentielles "inexacte" pour ce rappeler de cela.

Si on souhaite passer à la variation de UU on va devoir étudier un système dynamique ?

Ca dépend ce que l’on fait. En thermodynamique d’équillibre, les transformations sont infiniement lentes (et toutes les propriétés sont uniforme dans le système, on a donc pas de sources d’irréversibilité) de sorte que l’on peut écrire: dU=TdSPdVdU = TdS - PdV il suffit alors de connaître les dépendences de (P,T)(P,T) en (S,V)(S,V) pour intégrer et trouver la variation de UU.

Dans un cas général où les transformations ne sont pas infiniment lentes et où les propriétés ne sont pas uniformes, on écrit (après quelques hypothèses et développement): dUdt=dQdt+dWdt\dfrac{dU}{dt}=\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{dW}{dt} ρdudt=σ ⁣:D+ρrq\Leftrightarrow\rho \dfrac{du}{dt}=\vec{\vec{\sigma}}\colon\vec{\vec{D}} +\rho r - \vec{\nabla}\cdot\vec{q}ρ\rho est la masse volumique, uu l’énergie interne par unité de masse σ\vec{\vec{\sigma}} le tenseur de contraintes, D\vec{\vec{D}} le tenseur de taux de déformation ("strain"), rr la génération volumique de chaleur, q\vec{q} les flux de chaleur.

Cette équation est cohérente avec la thermodynamique d’équillibre car une partie du terme σ ⁣:D\vec{\vec{\sigma}}\colon\vec{\vec{D}} est proportionnelle à pdV-pdV (en gros).

Édité par ImperatorS79

+0 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte