Problème conceptuel sur des sommations infinies composées

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Bonjour/Bonsoir,

Semblerait-il que me revoilà. (Pour ceux qui s’en souviennent, je pense que dans les prochains mois je ferai un petit up sur le thread "À la quête du savoir !".

J’ai cherché à déterminer ff dans limn+i=0nfi(x)=π\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^{n} f^{i}(x) = \pi. Voici comment j’ai procédé :

limn+i=0nfi(x)=1+f(x)+f2(x)+f3(x)+=π\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^{n} f^{i}(x) = 1 + f(x) + f^2(x) + f^3(x) + \dots = \pi.

Donc : J=f(x)+f2(x)+f3(x)+f(x)=π1f(x)\displaystyle \mathcal{J} = \frac{f(x) + f^2(x) + f^3(x) + \dots}{f(x)} = \frac{\pi - 1}{f(x)}, dans la mesure où ff ne s’annule pas.

Puis, on remarque que J=limn+i=0nfi(x)\displaystyle \mathcal{J} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^{n} f^{i}(x), il en vient : π1f(x)=π\displaystyle \frac{\pi - 1}{f(x)} = \pi.

Ainsi π1π=11π=f(x)\displaystyle \frac{\pi - 1}{\pi} = 1 - \frac{1}{\pi} = f(x) (On remarque par ailleurs, que ff ne s’annule en effet pas).

On trouve finalement :

limn+i=0n(11π)i=π\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^{n} (1 - \frac{1}{\pi})^{i} = \pi

Tout d’abord, y-a-t’il une erreur ? Car, j’ai eu pu voir que manipuler des sommations infinies pouvait demander d’infinies précautions.

Dans la mesure où il n’y aurait pas d’erreur(s) : J’ai eu pu vérifier numériquement et ça converge en effet bien. On remarque par ailleurs que l’on peut remplacer π\pi par tout xx vérifiant x1x<1\displaystyle \frac{|x - 1|}{|x|} < 1 (Condition) (merci Wolfram|Alpha).

Mais ce n’est bien entendu pas intéressant de définir un nombre par une expression de lui-même. Mais pour autant, et en continuant sur l’exemple de π\pi, je me demandais si, par récursion, il était possible d’établir cela :

limn+[i=0n(11i=0n(11i=0n(11)i)i)i]=π\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \Bigg[ \sum_{i = 0}^{n} \Big(1 - \frac{1}{\displaystyle \sum_{i = 0}^{n}\Big(1 - \frac{1}{\displaystyle\sum_{i = 0}^{n}\Big(1 - \frac{1}{\dots}\Big)^i }\Big)^i }\Big)^i \Bigg] = \pi

Ou d’une manière plus générale, égal à ce que l’on veut. Ce qui est conceptuellement gênant, la même expression permet de générer tout nombre vérifiant (Condition). Au risque de dire une bêtise, peut-être faut-il démontrer la constructibilité ? (Ouhla, ça me paraît un peu gros comme bêtise, mais je laisse dans le doute, si jamais c’est faux, j’imagine que l’on me le dira.)

Respectueusement,

Garnier Mathias.

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Salut,

Ton problème, c’est que le nn est une variable muette et n’est pas le même nn dans toutes les expressions. Ce que tu as écrit n’est en fait pas défini, pour que ça le soit tu es obligé de t’arrêter à un moment donné et de dire ce que tu as au dénominateur.

C’est un peu comme si tu avais l’équation suivante f(π)=πf(\pi)=\pi. Tu peux écrire ffff(π)=πf\circ f\circ f\circ f(\pi)=\pi (en composant autant de fois que tu veux), mais pas ffff...=πf\circ f\circ f\circ f\circ ... = \pi. Ça n’a juste pas de sens.

Édité par adri1

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Bonjour,

Si tu ne veux pas faire d’erreur en manipulant les séries, le plus simple est, à mon sens, de limiter l’utilisation des \dots dans tes raisonnements1.

Pour le reste, es-tu familier des séries géométriques ? Si ce n’est pas le cas, je t’invite à t’y pencher (l’article wikipédia est une première approche). Les résultats que tu montres sont ceux d’une suite géométrique.


  1. Ce n’est pas inenvisageable de les utiliser, mais bien définir et garder en tête la signification.

Édité par Freedom

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Auteur du sujet

Bonjour/Bonsoir,

Ça me fait juste penser aux fractions continuées

Je pensais exactement à cela. Mais j’ai eu pu être plus qu’évasif à ce sujet (je l’ai intégralement été, je ne l’ai même pas écrit).

On aurait : π=i=0+[(1,i=0+[(1,i=0+[1,])i])i]\displaystyle \pi = \sum_{i = 0}^{+\infty}[(1, - \sum_{i = 0}^{+\infty}[(1, - \sum_{i = 0}^{+\infty}[1, \dots])^i])^i] (par l’utilisation des notations des fractions continues infinies ([a0,a1,a2,][a_0, a_1, a_2, \dots]), et, j’ai la nette impression de m’être trompé dans la rédaction de l’expression). Nous arrivons-donc, de nouveau, à deux problèmes précédemment soulevés : l’utilisation des "\dots", et la composition infinie.

pour que ça le soit tu es obligé de t’arrêter à un moment donné et de dire ce que tu as au dénominateur.

Dans le cas d’un nombre fini de fois, je comprends parfaitement, mais ça m’a l’air plus "tricky" lorsque l’infini intervient et s’immisce dans le calcul.

Remarque que π\pi n’apparaît même pas dans ton terme de gauche.

Je viens de me rendre compte, après quelques recherches, que ce que je fais correspond à cela : https://dms.umontreal.ca/~rousseac/chapitre_fraction_continue.pdf (page 1)(à la différence près qu’intervient dans le calcul de π\pi des sommations infinies et des puissances).

Suite à cela, Adri1, je ne comprends pas pourquoi la composition n’a pas de sens (dans la mesure d’un nombre de composition fini, je comprends, mais lorsque c’est infini, ça me semble "acceptable").

Merci beaucoup Freedom, je tâcherai de faire attention à cela, et j’avoue n’être que partiellement familier des suites géométriques (j’ai eu dû en utiliser certaines fois, mais je n’ai pas suivi de cours à ce sujet). Je vais aller faire des recherches.

Merci pour vos réponses,

Respectueusement,

Garnier Mathias

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Bonjour,

On aurait : π=i=0+[(1,i=0+[(1,i=0+[1,])i])i]\displaystyle \pi = \sum_{i = 0}^{+\infty}[(1, - \sum_{i = 0}^{+\infty}[(1, - \sum_{i = 0}^{+\infty}[1, \dots])^i])^i]

Déjà, il faudrait définir ce que veut dire ton terme de droite. C’est ce que te dit adri1. Il n’y a pas vraiment d’explication de pourquoi ça n’a pas de sens. Il faut une définition, c’est tout. Dans le cas des fractions continuées, la définition de la valeur se fait par une limite (page 2 de ton document). C’est comme si on partait de 1=0+11 = 0+1, puis qu’on en "déduisait" que 1=0+0+0+1 = 0+0+0+\cdots.

Un gros problème est que tu n’utilises aucune spécificité de π\pi dans ce que tu dis. Si ça avait du sens, on pourrait en fait l’appliquer à tout nombre plus grand que 1/21/2 (ou quelque chose comme ça) et tous seraient égaux.

Édité par blo yhg

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Suite à cela, Adri1, je ne comprends pas pourquoi la composition n’a pas de sens (dans la mesure d’un nombre de composition fini, je comprends, mais lorsque c’est infini, ça me semble "acceptable").

Tu peux écrire fffff(π)=πf\circ f\circ \dots \circ f\circ f\circ f(\pi)=\pi, mais pas ff=πf\circ f\circ\dots =\pi pour la simple raison que dans le second cas, le membre de gauche est une fonction alors que le membre de droite est un nombre. Pour revenir sur une expression qui a du sens, il faut dire à quoi tu appliques cette fonction. C’est pareil avec tes sommes, la façon dont tu mets les trois points nous laisse avec une expression qui est une fonction, pas un scalaire. On ne peut pas l’évaluer tant qu’on ne sait pas à quoi on l’applique.

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Auteur du sujet

Bonjour/Bonsoir,

C’est pareil avec tes sommes, la façon dont tu mets les trois points nous laisse avec une expression qui est une fonction, pas un scalaire.

Je comprends bien mieux désormais, désolé si j’ai pu avoir mis du temps pour saisir. Il faut vraiment que je fasse plus attention. Merci beaucoup.

Donc, techniquement, si je cherche limn+i=0nki=π\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n k^i = \pi à la place de limn+i=0nfi(x)=π\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n f^i(x) = \pi, le problème de mon abus de langage, (à vrai dire c’est même une faute à part entière,) est réglé ? (Dans la mesure où kk est un scalaire, et que ce n’est finalement plus qu’une fraction continue sans composition de fonctions douteuse, comme j’eus pu le faire.)

Si jamais c’est acceptable, on en (re)vient au fait que k=11πk = 1 - \frac{1}{\pi}, en outre, π\pi serait défini par une infinité de somme élevée à la ii-ème puissance d’une infinité de fraction continue ? (Tout comme ce fut mis dans le premier message, à la dernière formule.)

C’est comme si on partait de 1=0+11=0+1, puis qu’on en "déduisait" que 1=0+0+0+1=0+0+0+\dots.

J’ai vraiment fait cela ? Je ne pensais pas avoir aussi abusivement utilisé les "\dots". (Le dernier point est bien un point dû à la ponctuation.)

Si ça avait du sens, on pourrait en fait l’appliquer à tout nombre plus grand que 1/21/2 (ou quelque chose comme ça) et tous seraient égaux.

Exactement, d’où par ailleurs, le titre du topic : "Problème conceptuel sur des sommations infinies composées", outre le "composé" qui s’avère désormais fallacieux; si comme vous le dites, cela avait du sens, ce serait problématique. Petit à petit je vois ce qui ne va pas, mais il reste encore quelques zones d’ombres. Pour reprendre l’exemple du polycopié de mon précédent message, avec le passage d’une fonction (f(x)f(x)) à un scalaire (kk), ça m’a l’air envisageable (et on en revient au problème conceptuel), à moins qu’il existe une propriété des sommations infinies de fractions continues. Ou que je sois simplement à côté de la plaque. Mais, pour autant, je reste perplexe.

J’espère vraiment ne pas avoir l’air d’un pur et dur obstiné.

Respectueusement,

Garnier Mathias.

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Donc, techniquement, si je cherche limn+i=0nki=π\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n k^i = \pi à la place de limn+i=0nfi(x)=π\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n f^i(x) = \pi, le problème de mon abus de langage, (à vrai dire c’est même une faute à part entière,) est réglé ? (Dans la mesure où kk est un scalaire, et que ce n’est finalement plus qu’une fraction continue sans composition de fonctions douteuse, comme j’eus pu le faire.)

Tu n’as que des scalaires, là. ff est une fonction, mais fi(x)f^i(x) est bien un scalaire.

Pour reprendre l’exemple du polycopié de mon précédent message, avec le passage d’une fonction (f(x)f(x)) à un scalaire (kk), ça m’a l’air envisageable (et on en revient au problème conceptuel), à moins qu’il existe une propriété des sommations infinies de fractions continues. Ou que je sois simplement à côté de la plaque. Mais, pour autant, je reste perplexe.

Euh… f(x)f(x), c’est un scalaire. C’est l’image de xx par ff. C’est ff tout court la fonction.

J’ai l’impression que ton problème est surtout que tu tentes de manipuler des choses un peu plus compliquées que ce que tu devrais. Soit sûr de maîtriser les notions sur lesquelles tu t’appuies (fonctions et limites notamment) avant de tenter des manipuler des choses plus subtiles sans la rigueur qui va avec. C’est bien d’essayer de se détacher d’une formalité trop rigide, mais c’est inutile si ça ne s’appuie pas sur des notions solides.

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Essaie réellement de réécrire ce que tu veux sans ces \cdots.

La relation n[11]n=π\sum_n^\infty \left[1-\frac{1}{\sum\cdots}\right]^n=\pi se réécrit limnf(k)f(x)=π\lim_{n\rightarrow\infty}f\circ^{(k)}f(x)=\pi(k)\circ^{(k)} dénote la composée kk fois, avec f(x)=n[11x]nf(x) = \sum_n^\infty\left[1-\frac{1}{x}\right]^n (intervalle de définition à préciser, je te laisse le faire pour t’exercer).

Or, cette somme se réécrit f(x)=n[11x]n=11(11x)=xf(x) = \sum_n^\infty\left[1-\frac{1}{x}\right]^n=\frac{1}{1-\left(1-\frac{1}{x}\right)}=x. A partir de là, tu devrais voir que ta première relation (pour te donner une élément intermédiaire n,f(n)f=f\forall n,f\circ^{(n)}f=f) se réécrit juste x=πx=\pi.

Édité par Freedom

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C’est comme si on partait de 1=0+11=0+1, puis qu’on en "déduisait" que 1=0+0+0+1=0+0+0+\dots.

J’ai vraiment fait cela ? Je ne pensais pas avoir aussi abusivement utilisé les "\dots". (Le dernier point est bien un point dû à la ponctuation.)

mathiasGarnier

Pas exactement, la différence est que le 0+0+0+0+0+0+\cdots a un sens évident (qui n’est pas 11), alors que dans ce que tu as fait, ton expression n’est même pas définie. Peut-être qu’un meilleur exemple est de partir de 1(12)=21-(1-2) = 2 pour arriver à 2=1(1(1(1)))2 = 1-(1-(1-(1-\cdots))).

Pour ton passage de i=0f(x)i\sum_{i=0}^∞ f(x)^i à i=0ki\sum_{i=0}^∞ k^i, c’est effectivement déjà plus sensé de ne pas introduire de dépendance en xx artificiellement dans l’équation dont tu es parti, mais ça n’a rien à voir avec le problème que tu rencontres.

J’espère vraiment ne pas avoir l’air d’un pur et dur obstiné.

Je crois que tu as juste l’air de ne pas comprendre quelque chose… mais c’est difficile de voir quoi. ^^

Par ailleurs tu as oublié des limites devant toutes les sommes dans ton expression, car pour tout nn, la seule solution de x=i=0n(11/x)ix = ∑_{i=0}^n (1-1/x)^i est x=1x=1 ?

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