Modulation et dilation d'une fonction dans une transformée de Laplace

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Auteur du sujet

Bonsoir,

Je vois en cours la transformée de Laplace. On est évalué sur des QCM de cours et je me suis rendu compte pendant l’évaluation que mon cours n’était pas clair sur un point : quand la fonction est modulée et dilatée.

Pour la modulation, j’ai la relation suivante :

L[eγtf(t)]=L[f](z+γ)\mathcal{L}[e^{-\gamma t} f(t)] = \mathcal{L}[f](z + \gamma)

Pour la dilatation :

L[f(λt)]=1λL[f](zλ)\mathcal{L}[f(\lambda t)] = \frac{1}{\lambda} \mathcal{L}[f](\frac{z}{\lambda})

Dans le QCM, j’avais la transformée suivante :

L[eγtf(tλ)]\mathcal{L}[e^{\gamma t} f(\frac{t}{\lambda})]

Quelle est la bonne réponse ?

λL[f](λzγ) ou λL[f](λ(zγ))\lambda \mathcal{L}[f](\lambda z - \gamma) \text{ ou } \lambda \mathcal{L}[f](\lambda(z - \gamma))

Merci pour votre aide !

EDIT : où sont mes barres de fractions ? :euh:

Édité par Wizix

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Bonsoir,

Une façon de voir les choses est de découper le tout, tu vas étudier: eγ(fsλ1)e_\gamma\cdot \left(f\circ s_{\lambda^{-1}}\right). Avec sλ:tλts_\lambda:t\mapsto \lambda t et eλ:teλte_\lambda:t\mapsto e^{\lambda t}.

Les relations de ton cour sont donc : L[eλf]=L[f]τλ\mathcal{L}\left[e_\lambda\cdot f\right] = \mathcal{L}\left[f\right]\circ\tau_{-\lambda}τλ:tt+λ\tau_\lambda:t\mapsto t+\lambda; et L[fsλ]=sλ1L[f]sλ1\mathcal{L}\left[f\circ s_\lambda\right] = s_{\lambda^{-1}}\circ\mathcal{L}\left[f\right]\circ s_{\lambda^{-1}}.

Finalement tu cherches : L[eγ(fsλ1)]=L[fsλ1]τγ=sλL[f]sλτγ\mathcal{L}\left[e_\gamma\cdot\left(f\circ s_{\lambda^{-1}}\right)\right] = \mathcal{L}\left[f\circ s_{\lambda^{-1}}\right]\circ\tau_{-\gamma} = s_{\lambda}\circ\mathcal{L}\left[f\right]\circ s_{\lambda}\circ\tau_{-\gamma}. Je te laisse le soin de conclure.

Édité par Freedom

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