Médailles Fields 2018

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Tout le monde se secoue ! :D

J’ai commencé (il y a 16 secondes) la rédaction d’un article au doux nom de « Médailles Fields 2018 » et j’ai pour objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limites pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l’adresse suivante :

Merci !

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Auteur du sujet

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.


Quelques mots sur chaque mathématicien. J’ai pas compris grand chose pour l’instant, mais j’y travaille. :D

Édité par Aabu

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Merci pour l’initiative. Quelques remarques :

Intro

Cette médaille, remise tous les quatre ans, au même rythme que le Congrès

Cette phrase sous-entend que la remise de la médaille n’est pas la seule chose qui se passe au Congrès. Tu pourrais expliciter rapidement de quoi il s’agit.

Présentons-les plus en détails !

Je chipote, mais tu veux également présenter les travaux qui les ont menés à la médaille, pas seulement les personnes. Je dirais donc quelque chose comme : "Présentons ces chercheurs et leurs travaux plus en détails !".


Concernant les titres des sections, il me semble intéressant de nommer le travail mené par le chercheur (par exemple : "X, géométrie quantique dans la blockchain"). Ça interpelle plus que des noms seuls et permet de retrouver plus facilement un travail en particulier.

Merci.

"Bienheureux celui qui sait rire de lui-même, il n’a pas fini de s’amuser." Joseph Folliet

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Cette année s’est tenu le Congrès international des mathématiciens,

Je pense qu’on pourrait préciser que c’était à Rio.

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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Auteur du sujet

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.


Petite mise à jour de l’intro et quelques autres bricoles.

Édité par Aabu

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J’ai pas trop compris jusqu’où tu voulais présenter leurs travaux. J’ai du mal à voir ce que l’on peut dire de plus que les phrases ultras générales des citations.

Aussi, lors de la cérémonie, il y avait des petites vidéos de présentation des lauréats, elles sont ici (chaine YouTube de l’ICM). A voir si c’est intéressant d’au moins mettre un lien vers elles.

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Auteur du sujet

J’ai pas trop compris jusqu’où tu voulais présenter leurs travaux. J’ai du mal à voir ce que l’on peut dire de plus que les phrases ultras générales des citations.

Je ne sais pas ce que je souhaite dire, parce que je ne sais pas du tout ce qu’ils font. Et je ne suis même pas sûr d’arriver à comprendre raisonnablement leurs travaux. Donc à voir.

Aussi, lors de la cérémonie, il y avait des petites vidéos de présentation des lauréats, elles sont ici (chaine YouTube de l’ICM). A voir si c’est intéressant d’au moins mettre un lien vers elles.

Kanaal

Ah, je vais regarder ça, merci.

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Auteur du sujet

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

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J’ai ajouté quelques notes sur les thèmes des deux premiers médaillés.

Sans expliquer toutes les subtilités des résultats, j’aimerais expliquer un peu le thème général, et pourquoi c’est important pour les mathématiques.

J’avoue que je sèche un peu sur les deux derniers. Les travaux de Peter Scholze et Akshay Venkatesh me laisse dans l’embarras, parce que j’ai beaucoup de mal à comprendre de quoi il retourne, même vaguement. Un peu d’aide serait la bienvenue.

Édité par Aabu

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C’est un peu brouillon, mais je pense qu’il est impossible d’expliquer rapidement les objets sur lesquels Scholze travaille. Bref, je peaufinerai un peu après. Premier jet disons :

Qu’est-ce qu’un nombre p-adique ?

En théorie des nombres les mathématiciens s’intéressent, entre autres, aux propriétés des nombres naturels N={0,1,2,3,4,5,}\mathbb N = \{0,1,2,3,4,5, \ldots\}. Un nombre entier peut être décomposé en «briques élémentaires» appelées nombres premiers. Un nombre entier est premier lorsqu’il n’est divisible que par 1 et lui même (1 étant exclu), par exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. (il y en a une infinité). Un théorème fondamental nous assure que tout nombre entier se décompose en un unique (à l’ordre des facteurs près) produit de nombres premiers. Il existe d’autres types de nombres :

  • les entiers : Z={0,1,1,2,2,3,3,}\mathbb Z = \{0,1,-1,2,-2,3,-3, \ldots \}
  • les rationnels : Q={abundefineda,bZ et b0}\mathbb Q = \left\{ \frac{a}{b} \, \middle|\, a,b \in \mathbb Z \text{ et } b \neq 0 \right\}
  • les réels : R\mathbb R qui incluent en plus tout les nombres que l’on ne peut pas exprimer comme fractions de nombres entiers, par exemple ee, π\pi, 2\sqrt{2}, …
  • les complexes : C={a+ibundefineda,bR}\mathbb C = \left\{ a+ib \, \middle|\, a,b \in \mathbb R \right\}i2=1i^2 = -1.

Dans cette liste, Q\mathbb Q, R\mathbb R et C\mathbb C sont des objets algébriques appelés corps : en bref, des structures où l’on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser. La théorie générale permet de construire des corps de nombres à partir d’autres en ajoutant des éléments (et sans briser toutes les bonnes propriétés citées ci-dessus). Pour un nombre premier pp fixé, on peut construire une extension du corps Q\mathbb Q appelée corps des nombres pp-adiques Qp\mathbb Q_p.

Pour mieux comprendre à quoi ressemble un nombre pp-adique, on peut d’abord s’intéresser à l’anneau (structure où la division ne marche pas forcément) des entiers p-adiques Zp\mathbb Z_p. Un nombre dans cet anneau peut être représenté comme une suite (an)n1(a_n)_{n\geq 1} de nombres entiers telle que pour tout n1n \geq 1, anZ/pna_n \in \mathbb Z / p^n et anan+1modpna_n \equiv a_{n+1} \mod p^{n}. Par exemple, un nombre entier tout bête est représenté par la suite des restes des divisions par pnp^n pour n de plus en plus grand. Pour un exemple plus concret on peut prendre 1515 qui est représenté par (1,3,7,15,15,15,)(1,3,7,15,15,15, \ldots) dans les entiers 2-adiques.

Cet anneau Zp\mathbb Z_p ne possède pas forcément d’inverse multiplicatif pour chaque élément (on ne peut pas diviser), et on construit alors le corps des fractions Qp\mathbb Q_p en les ajoutant.

Comme pour les nombres plus familiers (les entiers, les rationnels, etc.), on peut s’intéresser aux fonctions définies sur les p-adiques, la convergence de suites, la topologie, … Ils fournissent un riche terrain de jeu et permettent par exemple de prouver des résultats sur les nombres entiers via différentes constructions.

Les travaux récompensés par la médaille Fields

Peter Scholze a reçu la médaille Fields pour ses travaux révolutionnaires dans le domaine de la géométrie algébrique arithmétique. Il a notamment construit de nouveaux ponts entre géométrie et algèbre à l’aide des espaces perfectoides. Un des ses résultats les plus connus concerne l’existence de représentations de Galois associées à des classes de torsion dans la cohomologie d’espaces localement symétriques.

Édité par Kanaal

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Auteur du sujet

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.


J’essaie de terminer cet article (un peu dans douleur, je sors de ma zone de confort).

J’espère que cette version est une des dernières, et j’envoie en parallèle en validation. :)

Édité par Aabu

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C’est un article très intéressant, merci ! J’ai bien du mal à tout comprendre, mais ce n’est pas surprenant vu les sujets abordés.

J’aime bien la phrase "comment se faire une fortification à partir d’un tas de terre en se fatiguant le moins possible ?" Elle est drôle, pertinente et reposante pour mon cerveau. :-°

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Beau travail ! Mes retours (vu l’état avancé du contenu, je me permets de commenter la forme également) :

Caucher Birkar, spécialiste de la géométrie algébrique

Heureusement, elle a pu été remplacée 

être

Il travaille en particulier sur la géométrie birationnelle

C’est indiqué dans l’introduction, mais tu pourrais préciser où il travaille aujourd’hui.

qui est un sous domaine de la géométrie algébrique

Même si tu l’introduis plus bas, tu pourrais fournir le lien Wikipédia.

En version originale:

originale :

en combinant les inconnues à l’aide d’additions, de soustractions et de multiplications par des constantes

Un débutant pourrait lire cette phrase ainsi : "en combinant les inconnues à l’aide (d’additions, de soustractions et de multiplications) par des constantes".

Pour lever l’ambiguïté, tu pourrais reformuler ainsi : "en combinant les inconnues à l’aide d’additions et de soustractions, et en les multipliant par des constantes".

qu’on appelle une variété algébrique.

Là aussi, tu peux fournir le lien Wikipédia.

Une droite du plan peut être représentée par son équation cartésienne.

Une équation cartésienne, ça veut dire qu’il n’y a que deux inconnues (communément appelées xx et yy) ?

Autrement dit, pour une droite donnée, il est possible de trouver trois réels

Je ne comprends pas pourquoi trois. En général, on a y=ax+by = ax + b, non ?

Après réflexion, il semblerait que ce soit pour gérer les lignes verticales. Le cas échéant, ça faudrait le coup de le mentionner, voire de l’illustrer par un schéma : trois droites (verticale, horizontale et "en diagonale") avec leur équations respectives.

se généralise aux polynômes sur d’autres corps

Tu peux ajouter le lien Wikipédia pour "corps".

ou tout autre corps aux propriétés adéquates

Qu’entends-tu par "propriétés adéquates" ?

Les mathématiciens cherchent à catégoriser les variétés algébriques, en étudiant certaines transformations

Je ne comprends pas le lien entre la catégorisation et les transformations.

transforment des variétés algébriques en d’autres variétés algébriques : les applications birationnelles

Les applications birationnelles sont-elles :

  • Le nom des applications qui transforment des variétés algébriques en d’autres variétés algébriques ?
  • Un sous-ensemble des applications qui transforment des variétés algébriques en d’autres variétés algébriques (sous-ensemble étudié par les chercheurs : pourquoi ?) ?

Transformation birationnelle d’un cercle en droite par projection stéréographique

Pourquoi utiliser zz et non pas yy ?

Que désigne NN ?

Chaque point P du cercle est projeté sur un point P' de la droite.

De quelle droite parle-t-on ? Pas de celle dessinée à priori, vu qu’elle contient déjà PP.

Montrer la projection d’un second point du cercle aiderait probablement à comprendre.

l’élaboration du programme du modèle minimal, autrement dit l’élaboration d’une suite d’opérations permettant

J’imagine que cette suite d’opérations doit être de longueur minimale.

d’aboutir par diverses transformations birationnelle à une variété-type

Que signifie "variété-type" ? Une variété de référence ? Tu pourrais illustrer le problème par un exemple.

Le programme minimal actuel

Cette formulation laisse entendre qu’il y a une programme minimal absolu, mais j’imagine que ça dépend des variétés de départ et d’arrivée (qui, si j’ai bien compris, est une référence fixée une bonne fois pour toutes), non ?

Le programme minimal actuel aboutit soit à une variété appelée modèle minimal, soit à une variété dite de Fano.

Je ne suis pas sûr de comprendre le but de cette phrase. Sert-elle de définition aux variétés de Fano ?

Caucher Birkar a participé à l’élaboration du programme du modèle minimal pour un type de variétés couvrant des cas importants, ce qui a contribué à faire du programme un outil essentiel.

J’ignore quelle charge de travail ça représenterait, mais il serait sympa de connaître l’état des lieux avant son travail, de sorte qu’on puisse plus facilement comprendre l’étendue des apports de sa contribution.

Merci !

"Bienheureux celui qui sait rire de lui-même, il n’a pas fini de s’amuser." Joseph Folliet

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Je commente tes commentaires ? Merci d’ailleurs !

Il travaille en particulier sur la géométrie birationnelle

C’est indiqué dans l’introduction, mais tu pourrais préciser où il travaille aujourd’hui.

Tu veux dire répéter l’université actuelle de chaque lauréat ?

en combinant les inconnues à l’aide d’additions, de soustractions et de multiplications par des constantes

Un débutant pourrait lire cette phrase ainsi : "en combinant les inconnues à l’aide (d’additions, de soustractions et de multiplications) par des constantes".

Pour lever l’ambiguïté, tu pourrais reformuler ainsi : "en combinant les inconnues à l’aide d’additions et de soustractions, et en les multipliant par des constantes".

Bonne idée. Je n’avais pas vu l’ambiguïté mais si tu le dis c’est qu’elle existe bel et bien.

Une droite du plan peut être représentée par son équation cartésienne.

Une équation cartésienne, ça veut dire qu’il n’y a que deux inconnues (communément appelées xx et yy) ?

Pour moi, une équation cartésienne est juste une équation de la forme f(x1,,xn)=0f(x_1,\ldots,x_n) = 0 qui décrit une courbe dans Rn\mathbb R^n. Le mot cartésien étant là juste pour se souvenir qu’on pense à une courbe.

Autrement dit, pour une droite donnée, il est possible de trouver trois réels

Je ne comprends pas pourquoi trois. En général, on a y=ax+by = ax + b, non ?

Après réflexion, il semblerait que ce soit pour gérer les lignes verticales. Le cas échéant, ça faudrait le coup de le mentionner, voire de l’illustrer par un schéma : trois droites (verticale, horizontale et "en diagonale") avec leur équations respectives.

Pourquoi pas pour les dessins. J’ai du mal à tracer la frontière entre quelques mots sur le sujet et trop d’explications détaillées (qui induisent un fort contraste entre les différentes présentations des médaillés Fields).

ou tout autre corps aux propriétés adéquates

Qu’entends-tu par "propriétés adéquates" ?

Je pense (si je ne dis pas de bêtises) que le mot clé est "algébriquement clos". Encore une fois, faut-il vraiment entrer dans ce genre de détails dans cet article ?

Les mathématiciens cherchent à catégoriser les variétés algébriques, en étudiant certaines transformations

Je ne comprends pas le lien entre la catégorisation et les transformations.

Ok, peut être rajouter quelques mots ici. Il existe des transformations qui ne changent pas la classe d’équivalence (birationnalité) mais qui donnent des variétés plus simples. En partant d’une variété compliquée, on applique ces transformations pour se ramener à une variété plus simple, mais toujours birationnellement (?) équivalente à la première.

transforment des variétés algébriques en d’autres variétés algébriques : les applications birationnelles

Les applications birationnelles sont-elles :

  • Le nom des applications qui transforment des variétés algébriques en d’autres variétés algébriques ?
  • Un sous-ensemble des applications qui transforment des variétés algébriques en d’autres variétés algébriques (sous-ensemble étudié par les chercheurs : pourquoi ?) ?

La deuxième interprétation est correct je crois. En gros, on a des classes d’équivalence de variété. La relation d’équivalence s’appelle "birationnalité". Le but du délire c’est de trouver, pour chaque class d’équivalence, une variété "sympathique" qui représente la classe. Les morphismes (=applications) entre variétés peuvent être qualifiés de birationels s’ils vérifient certaines propriétés (encore une fois, trop compliquées à expliquer dans l’article, mais on peut voir une définition ici)

Transformation birationnelle d’un cercle en droite par projection stéréographique

Pourquoi utiliser zz et non pas yy ?

Aucune différence mais pourquoi pas yy si ça sonne mieux.

Que désigne NN ?

Le pôle Nord, un point quelconque. Peut être à mentionner du coup.

Chaque point P du cercle est projeté sur un point P' de la droite.

De quelle droite parle-t-on ? Pas de celle dessinée à priori, vu qu’elle contient déjà PP.

Montrer la projection d’un second point du cercle aiderait probablement à comprendre.

Ok pour ces remarques, pas une mauvaise idée. On pourrait changer en : "chaque point PP du cercle est projeté sur le point PP' à l’intersection de l’axe horizontal xx et de la droite passant par PP et le pôle Nord NN."

l’élaboration du programme du modèle minimal, autrement dit l’élaboration d’une suite d’opérations permettant

J’imagine que cette suite d’opérations doit être de longueur minimale.

Le mot minimal désigne plutôt le côté "simple" de la variété qui sert de modèle pour la classe d’équivalence. Je trouve la phrase d’après l’explique correctement, non ?

d’aboutir par diverses transformations birationnelle à une variété-type

Que signifie "variété-type" ? Une variété de référence ? Tu pourrais illustrer le problème par un exemple.

Ca me paraît assez chaud pour un exemple, en 2d c’est plutôt OK avec du blowing-down/blowing-up mais même ça demande un peu d’introduction. Après je n’y connais rien, y’a sûrement des gens qui en savent bien plus ici.

Le programme minimal actuel

Cette formulation laisse entendre qu’il y a une programme minimal absolu, mais j’imagine que ça dépend des variétés de départ et d’arrivée (qui, si j’ai bien compris, est une référence fixée une bonne fois pour toutes), non ?

Si j’ai bien compris, la question se pose dans diverses dimensions et on connait plus on moins de choses suivant les dimensions. Le "actuel" est celui qu’on connait actuellement. C’est bien ça ?

Le programme minimal actuel aboutit soit à une variété appelée modèle minimal, soit à une variété dite de Fano.

Je ne suis pas sûr de comprendre le but de cette phrase. Sert-elle de définition aux variétés de Fano ?

Dans le cadre de l’article je la lis comme ça aussi. On a besoin de "définir" le mot "Fano" car il apparaît dans l’annonce de la médaille de C. Birkar.

Caucher Birkar a participé à l’élaboration du programme du modèle minimal pour un type de variétés couvrant des cas importants, ce qui a contribué à faire du programme un outil essentiel.

J’ignore quelle charge de travail ça représenterait, mais il serait sympa de connaître l’état des lieux avant son travail, de sorte qu’on puisse plus facilement comprendre l’étendue des apports de sa contribution.

Ca vaut vraiment le coup ? Je veux dire, c’est quand même ultra spécialisé comme délire et c’est difficile de juger l’impact de l’extérieur, non ?

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Tu veux dire répéter l’université actuelle de chaque lauréat ?

Oui.

Pour moi, une équation cartésienne est juste une équation de la forme f(x1,,xn)=0f(x_1,\ldots,x_n) = 0 qui décrit une courbe dans Rn\mathbb R^n. Le mot cartésien étant là juste pour se souvenir qu’on pense à une courbe.

Tu pourrais reformuler le passage de la sorte, en fournissant également le lien Wikipédia de l’équation cartésienne : "Une droite du plan peut être représentée une équation dite cartésienne.".

Pourquoi pas pour les dessins. J’ai du mal à tracer la frontière entre quelques mots sur le sujet et trop d’explications détaillées (qui induisent un fort contraste entre les différentes présentations des médaillés Fields).

En l’occurrence, un schéma suffit.

Je pense (si je ne dis pas de bêtises) que le mot clé est "algébriquement clos". Encore une fois, faut-il vraiment entrer dans ce genre de détails dans cet article ?

Le mentionner me semble une bonne chose pour satisfaire les curieux. Inutile de rallonger le contenu en expliquant le concept, tu peux te contenter d’un lien Wikipédia s’il existe.

La deuxième interprétation est correct je crois. En gros, on a des classes d’équivalence de variété. La relation d’équivalence s’appelle "birationnalité". Le but du délire c’est de trouver, pour chaque class d’équivalence, une variété "sympathique" qui représente la classe. Les morphismes (=applications) entre variétés peuvent être qualifiés de birationels s’ils vérifient certaines propriétés (encore une fois, trop compliquées à expliquer dans l’article, mais on peut voir une définition ici)

Il me semble judicieux de suivre le même raisonnement dans l’article. Ca donnerait :

  • On peut transformer une variété en une autre à l’aide d’applications (on parle alors de morphisme).

  • Exemple : cercle vers droite

  • Certaines de ces applications sont dites birationelles.

  • Quand il existe une application birationelle ff transformant une variété V1V_1 en une variété V2V_2, il existe aussi gg birationelle pour faire le chemin inverse : g(V2)=V1g(V_2) = V_1. On dit alors que V1V_1 et V2V_2 sont birationellement équivalentes.

Le mot minimal désigne plutôt le côté "simple" de la variété qui sert de modèle pour la classe d’équivalence. Je trouve la phrase d’après l’explique correctement, non ?

Je pense que c’est parce que je n’ai pas compris que "variété-type" signifiait "variété de référence en quelque sorte la plus simple de la classe d’équivalence".

Ca me paraît assez chaud pour un exemple, en 2d c’est plutôt OK avec du blowing-down/blowing-up mais même ça demande un peu d’introduction. Après je n’y connais rien, y’a sûrement des gens qui en savent bien plus ici.

Je pense que les changements suggérés plus haut rendent superflus l’ajout d’explications à ce niveau.

Si j’ai bien compris, la question se pose dans diverses dimensions et on connait plus on moins de choses suivant les dimensions. Le "actuel" est celui qu’on connait actuellement. C’est bien ça ?

De ce que je comprends, le PMM donne une procédure générique permettant, pour une classe de variété donnée, de trouver l’élément "le plus simple" :

In pursuit of this goal, the Minimal Model Program (MMP) proposes a way to identify special varieties in each class that are in some sense the simplest and that provide building blocks out of which one can construct other, more complicated varieties.

Le terme "actuel" prend en effet tout son sens quand la problématique est claire. Je suggère de reformuler ce passage.

Dans le cadre de l’article je la lis comme ça aussi. On a besoin de "définir" le mot "Fano" car il apparaît dans l’annonce de la médaille de C. Birkar.

Dans le write-up, il est question de dimension des variétés. Je vais y jeter un oeil.

Ca vaut vraiment le coup ? Je veux dire, c’est quand même ultra spécialisé comme délire et c’est difficile de juger l’impact de l’extérieur, non ?

Je vais aussi regarder si je peux filer un coup de main.

"Bienheureux celui qui sait rire de lui-même, il n’a pas fini de s’amuser." Joseph Folliet

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