Exercice 1 − olympiades de première 2016

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Salut à tous,

je fais quelques exercices des annales des olympiades de mathématiques de première en préparation à celles-ci et dans l’exercice 1 du sujet des séries S de 2016, il y a une question à laquelle je n’arrive pas à répondre et dont je ne comprends pas la solution proposé.

La question (2.c) consiste à montrer que pour tout $(A,B,C) \in \mathbb{R}^3_+$ tels que $ABC = 1$ on a $A + B + C \ge 3$ à partir de l’inégalité $a^3 + b^3 + c^3 \ge 3$ qui a été démontrée dans la question précédente pour tout $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3_+$.

La correction en question dit :

c. L’inégalité [de la question] précédente, valable pour tout triplet $(a,b,c)$ , s’applique à tout triplet de produit 1, et aux racines cubiques…

Et là j’ai pas vraiment compris l’histoire des racines cubiques, je me suis dit que l’on pouvait faire quelque chose du genre il existe $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3_+$ tels que $(A,B,C) = (\sqrt[3]{a}, \sqrt[3]{b}, \sqrt[3]{c})$ et donc il est évident que

$$ a + b + c \ge 3$$

mais après je vois pas trop quoi faire et on a pas encore aboutit à la bonne inégalité.

Voilà, j’espère que vous pourrez m’aider à comprendre cette question (et surtout la réponse ^^) et je vous en remercie d’avance. :)

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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Banni

Il faut appliquer l’inégalité de la question précédente à un triplet $(a,b,c)$ tel que $a^3 = A$, $b^3 = B$ et $c^3 = C$, afin que $a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3$ soit équivalent à $A+B+C≥3$. Donc il faut prendre $(a,b,c) = (\sqrt[3]{A},\sqrt[3]{B},\sqrt[3]{C})$.

Tu t’es un peu mélangé les pinceaux car tu as la bonne idée et que tu as appliqué l’inégalité à des racines cubiques.

Édité par blo yhg

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Auteur du sujet

Tu t’es un peu mélangé les pinceaux car tu as la bonne idée et que tu as appliqué l’inégalité à des racines cubiques.

Oui mais ce qui me dérange c’est que, en reprenant ce que tu as mis, on a $A + B + C \ge 3$ mais pas nécessairement $ABC = 1$ alors que la question1 qui est

En déduire que pour tous nombres réels positifs $A, B $ et $C$ dont le produit est égal à 1 : $A + B + C \ge 3$

veut dire pour moi que l’on doit avoir $ABC = 1$.


  1. j’aurais dû la mettre littéralement dans le premier post 

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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Banni

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

On a comme hypothèse que $ABC=1$. On commence avec ça. Ensuite on pose $a := \sqrt[3]{A}$, etc. On a quoi comme valeur de $abc$ ? Donc on peut appliquer la propriété précédente au triplet $(a,b,c)$ et on obtient $a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3$. Mais par définition de $a,b,c$, ça veut dire que $A + B + C ≥ 3$. C’est plus clair ?

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